ある対称式の冪乗から

ある対称式の冪乗から
～数値実験と理論検証～

埼玉県高等学校数学教育研究会
2017年２月執筆

§１．はじめに

　\(\textcolor{blue}{\displaystyle{x+\!\!\,\frac{1}{\!\:x\!\:}}\!=a}\,(\in\mathbb{R})\,\)を初期値として\(\,\displaystyle{\textcolor{blue}{x^n\!\!\:+\!\!\frac{1}{\!\:x^n\!\:}}}\,(n\in\mathbb{N}\!\:)\,\)の値を求める計算は, 大学入試における頻出問題である. 実際に見かける問題は\(\,n\!\leq\!5\,\)程度までの数値計算であるが, 一般の冪乗について計算したり考察したりする問題については (市販されている受験用参考書を含めても) 見かけたことがない.
　
　試みに少し計算してみよう. \(\displaystyle{f_{a\!\:}(1)=x+\!\!\,\frac{1}{\!\:x\!\:}\!
=a,\,\,f_{a\!\:}(n)=x^n\!+\!\frac{1}{x^n}}\,\)とおく. \(f_{a\!\:}(n)\,\)は\(\,n\,\)を変数とする関数であり, \(n\,\)を定めれば, それに対応して\[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{blue}{f_{a\!\:}(2)}&\textcolor{blue}{\,=a^2-2}\\
\textcolor{blue}{f_{a\!\:}(3)}&\textcolor{blue}{\,={a^3-3a}^{　}}\\
\textcolor{blue}{f_{a\!\:}(4)}&\textcolor{blue}{\,={a^4-4a^2+2}^{　}}\\
\textcolor{blue}{f_{a\!\:}(5)}&\textcolor{blue}{\,={a^5-5a^3+5a}^{　}}\\
\textcolor{blue}{f_{a\!\:}(6)}&\textcolor{blue}{\,={a^6-6a^4+9a^2-2}^{　}}\\
\textcolor{blue}{\cdots}&\textcolor{bule}{\,\cdots{\\}^{　}}
\end{split}\end{equation}{\tag{1.1}}\]のように\(\,a\,\)の多項式が一意に定まる.
　
　\(f_{a\!\:}(n)\,\)の振る舞いは初期値\(\,f_{a\!\:}(1)=a\,\)の値によって変化する. たとえば, \(\,a\!=\!3\,\)とおけば, \((1.1)\,\)より \[\begin{equation}\begin{split}f_{\!\:3\!\:}(2)&=7\\
f_{\!\:3\!\:}(3)&={18}^{　}\\
f_{\!\:3\!\:}(4)&={47}^{　}\\
f_{\!\:3\!\:}(5)&={123}^{　}\\
f_{\!\:3\!\:}(6)&={322}^{　}\\
\cdots&\cdots{\\}^{　}
\end{split}\end{equation}\tag{1.2}\]が得られるから, \(f_{\!\:3\!\:}(n)\,\)は単調増大で\(\,\displaystyle{\lim_{n\!\:\to\!\:\infty}\!f_{\!\:3\!\:}(n)=\infty}\,\)であることがわかる. また, \(\,a\!=\!-1\,\)とおけば, \((1.1)\,\)より\[\begin{equation}\begin{split}f_{\!\:-1\!\:}(2)&=-1\\
f_{-1\!\:}(3)&={2}^{　}\\
f_{-1\!\:}(4)&={-1}^{　}\\
f_{-1\!\:}(5)&={-1}^{　}\\
f_{-1\!\:}(6)&={2}^{　}\\
\cdots&\cdots{\\}^{　}
\end{split}\end{equation}\tag{1.3}\]が得られるから, \(f_{-1}(n)\,\)の値は特定の周期をもって循環することがわかる.
　
　本稿では, \(f_{a}(n)\,\)の振る舞いについて考察しようと思う.
　

§２．\(f_{\!\:a\!\:}(n)\) の \(a\) による表現

　\(f_{a\!\:}(n)\,\)が漸化式\[\textcolor{blue}{f_{\!\:a\!\:}(n)
=f_{a\!\:}(1)\,f_{a\!\:}(n\!-\!1)-f_{a\!\:}(n\!-\!2)}\tag{2.1}\]をみたすことは容易に確かめうる. 実際に\(\,(2.1)\,\)の右辺\[\left(x\!\:+\!\frac{1}{x}\!\right)\!\left(x^{n-1}\!+
\!\frac{1}{x^{n-1}}\!\right)\,-\left(x^{n-2}\!+\!\frac{1}{x^{n-2}}\!\right)\]を展開すればよい. \((2.1)\,\)を用いれば, \(f_{a\!\:}(2)\,\)は,\[f_{\!\:a\!\:}(2)
=f_{a\!\:}(1)f_{a\!\:}(2\!-\!1)-f_{a\!\:}(2\!-\!2)=a^2-2\]として得られる. なお, 前節では\(\,n\in\mathbb{N}\,\)としておいたが, ここでは, 便宜上\(\,n\!=\!0\,\)を認めて\(\,f_{\!\:a\!\:}(0)\!=\!2\,\)とした.
　
　他の\(\,n\,\)についても, 同様に計算すれば\(\,(1.1)\,\)が得られる. その右辺の各項の指数および係数に現れる規則性から, \[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{red}{f_{a\!\:}(n)}&\textcolor{red}{\,=a^n-n\,a^{n-2}}\\
&\textcolor{red}{\:\:\:\:+\,\frac{1}{\!\:2!\!\:}n\,(n\!-\!3)\,a^{n-4}}\\
&\textcolor{red}{\:\:\:\:-\,\frac{1}{\!\:3!\!\:}n\,(n\!-\!4)(n\!-\!5)\,a^{n-6}}\\
&\textcolor{red}{\:\:\:\:+\,\frac{1}{\!\:4!\!\:}n\,(n\!-\!5)(n\!-\!6)(n\!-\!7)\,a^{n-8}}\\
&\textcolor{red}{\:\:\:\:-\,\frac{1}{\!\:5!\!\:}n\,(n\!-\!6)(n\!-\!7)(n\!-\!8)(n\!-\!9)\,a^{n-10}}\\
&\textcolor{red}{\:\:\:\:+\,\cdots\cdots{\\}^{　}}
\end{split}\end{equation}\tag{2.2}\]が成り立つと予想される. ただし, 上の表記では, この式は\(\,n\!\geq\!10\,\)なる\(\,n\,\)について意味をもつ. \((2.2)\,\)の係数を観察すれば, \((2.2)\,\)は,\[\textcolor{red}
{f_{\!\:a\!\:}(n)=a^n+\sum_{k\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{n}{\:2^{\!　}}\right]}\,\left(\frac{(-1)^k\cdot n}{k\!\,\,!}\,
\left(\,\prod_{\,i\!\:=\!\:k+1}^{2k-1}(\!\:n\!-\!i\!\:)\right)\,a^{n-2k}\right)\:\:\:(n\!\geq\!2)}\tag{2.3}\]のように定式化できる. ここで, \(k\in\mathbb{N}\,\)は\(\,n\geq2k\,\)をみたし, \(p>q\,\)ならば\(\,\displaystyle{\prod_{i\!\:=\!\:p}^{q}\,g\:\!(\!\:i\!\:)=1}\,\)をみたすものとする.
　証明は数学的帰納法による. その骨子は, \((1.1)\,\)が\(\,(2.2)\,\)をみたすことと, \(n\!\geq\!2k\,\)をみたす\(\,k\,\)について, \((2.1)\,\)より, \(f_{a\!\:}(n)\,\)における第\(\,k+\!1\,\)項, すなわち\[\frac{(-1)^k\cdot n}{k\!\,\,!}\,
\left(\,\prod_{\,i\!\:=\!\:k+1}^{2k-1}(\!\:n\!-\!i\!\:)\right)\,a^{n-2k}\tag{2.4}\]が, \(f_{a\!\:}(n\!-\!1)\,\)の第\(\,k+\!1\,\)項に\(\,f_{a\!\:}(1)=a\,\)を乗じたものと\(\,f_{a\!\:}(n\!-\!2)\,\)の第\(\,k\,\)項との差に等しいことを\(\,(2.1)\,\)を用いて示すことにある. 実際, \[\begin{equation}\begin{split}&\:\:\:\:\:\frac{(-1)^k\cdot(n\!-\!1)}{k\!\,\,!}
\left(\,\prod_{i\!\:=\!\:k+1}^{2k-1}\!(\!\:(n\!-\!1)\!-\!i\!\:)\!\right)\,\,a^{(n-1)-2k}\cdot a\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-\,\frac{(-1)^{k-1}\cdot(n\!-\!2)}{(k\!-\!1)\!\,\,!}
\left(\,\prod_{\,i\!\:=\!\:k}^{2k-3}\,(\!\:(n\!-\!2)\!-\!i\!\:)\right)\,a^{(n-2)-2k}\\
&=\frac{(-1)^k}{k\!\,\,!}\,
\left(\prod_{\,i\!\:=\!\:k+2}^{2k-1}(n-i)\right)((n\!-\!1)(n\!-\!2k)+k\,(n\!-\!2))\,a^{n-2k}\\
&=\frac{(-1)^k}{k\!\,\,!}\,\left(\prod_{\,i\!\:=\!\:k+2}^{2k-1}(n-i)\right)n\,(n\!-\!(k\!+\!1))\,a^{n-2k}
\end{split}\end{equation}\]から\(\,(2.4)\,\)が成り立つ.
　
　\(f_{a\!\:}(1)\!=a\,\)すなわち\(\,x^2\!-\!ax\!+\!1\!=\!0\,\)であることより, この二次方程式の２解\(\,\alpha,\,\beta\,\)は, \(\alpha\!+\!\beta\!=\!a,\,\,\alpha\beta=1\,\)をみたすから, \[f_{a\!\:}(n)=\alpha^n\!+\beta^{\,n}\tag{2.5}\]が成り立つ. \((2.5)\,\)において\(\,a\!=\!3\,\)とおけば,\[f_{\!\:3\!\:}(n)=\left(\!\frac{\,1\!+\!\sqrt{5}\,}{2}\!\right)^{\!2n}\!
+\left(\!\frac{\,1\!-\!\sqrt{5}\,}{2}\!\right)^{\!2n}\]であるから, これより, \(f_{3}(n)\,\)と Fibonacci 数 あるいは Lucas 数 との関係\[f_{3}(n)=F_{2n+1}\!+\!F_{2n-1}=L_{2n}\]が見出せる.

§３．\(f_{\!\:a\!\:}(n)\) の性質（1）

　前節で得た\(\,(2.2)\,\)または\(\,(2.5)\,\)を用いて数値実験を試みれば,\[\textcolor{blue}{|\!\:a\!\:|\leq2\:\textbf{ならば},\, \textbf{任意の}\, n\in\mathbb{N}\,\textbf{について}\, \left|\!\:f_{\!\:a\!\:}(n)\!\:\right|\leq2}\tag{3.1}\]が成り立つと予想される. たとえば, \(a\!=\!\:\!\sqrt{2\!\!\:\:}\,\)とおけば, 任意の\(\,k\in\mathbb{N}\,\)について\[\begin{equation}\begin{split}k\equiv\pm\,1\:\:\!\:\textrm{mod}\:8\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\sqrt{2\!\:}}\,(k)=\!\:\sqrt{2\!\!\:\:}\\
k\equiv\pm\,2\:\:\!\:\textrm{mod}\:8\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:\sqrt{2\!\:}}\,(k)=0\\
k\equiv\pm\,3\:\:\!\:\textrm{mod}\:8\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:\sqrt{2\!\:}}\,(k)=-\!\:\sqrt{2\!\!\:\:}\\
k\equiv\,0\:\:\!\:\textrm{mod}\:4\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:\sqrt{2\!\:}}\,(k)=2\cdot(-1)^k\end{split}\end{equation}\]が成り立つから, \(f_{\sqrt{2\!\:}}\,(n)\,\)は, 任意の\(\,n\in\mathbb{N}\,\)について\(\,f_{\sqrt{2\!\:}}\,(n)=f_{\sqrt{2\!\:}}\,(n\!+\!8)\,\)をみたし, 周期８をもつことがわかる. また, \(a\!=\!\:\!\sqrt{3\!\!\:\:}\) とおくと, 任意の\(\,k\in\mathbb{N}\,\)について\[\begin{equation}\begin{split}k\equiv\pm\,1\:\:\!\:\textrm{mod}\:12\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\sqrt{3\!\:}}\,(k)=\!\:\sqrt{3\!\!\:\:}\\
k\equiv\pm\,2\:\:\!\:\textrm{mod}\:12\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:\sqrt{3\!\:}}\,(k)=1\\
k\equiv\pm\,3\:\:\!\:\textrm{mod}\:12\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:\sqrt{3\!\:}}\,(k)=0\\
k\equiv\pm\,4\:\:\!\:\textrm{mod}\:12\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:\sqrt{3\!\:}}\,(k)=-1\\
k\equiv\pm\,5\:\:\!\:\textrm{mod}\:12\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\sqrt{3\!\:}}\,(k)=-\!\:\sqrt{3\!\!\:\:}\\
k\equiv\,0\:\:\!\:\textrm{mod}\:6\!\:\,
&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:\sqrt{3\!\:}}\,(k)=2\cdot(-1)^k\end{split}\end{equation}\]が成り立つから, \(f_{\sqrt{3\!\:}}\,(n)\,\)は, 任意の\(\,n\in\mathbb{N}\,\)について\(\,f_{\sqrt{3\!\:}}\,(n)=f_{\sqrt{3\!\:}}\,(n\!+\!12)\,\)をみたし, 周期12をもつことがわかる. 一方, \(a\!=\!1.5, \,\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{2\!\:\!\:}}, \, \frac{2}{\,\pi\,}}\,\)などとおいた場合は, このような周期性を見出すことは難しい.
　
　ここで, 次の補題を確認しておこう.
\[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{blue}{\left|\!\:a\:\!\right|\!\!\:\leq2\, }&\textcolor{blue}{\textbf{をみたす任意の}\,a\in\mathbb{R}\, \textbf{に対して},}\\
&\:\:\:\:\:\:\textcolor{blue}{\,a\!=\!2\cos\theta\, \textbf{をみたす}\,\theta\,\textbf{が}\,0\!\leq\!\theta\!\leq\!\pi\:\textbf{において一意に存在する}.}\end{split}\end{equation}\tag{3.2}\]　このとき, \((1.1)\,\)より\[\begin{equation}\begin{split}f_{2\cos\theta\!\:}(2)
&=(2\cos\theta\!\:)^2\!-\!2=2\cos2\!\:\theta\\
f_{2\cos\theta\!\:}(3)&=(2\cos\theta\!\:)^3\!-\!3\!\:(2\cos\!\:\theta)=2\cos3\!\:\theta\\
f_{2\cos\theta\!\:}(4)&=(2\cos\theta\!\:)^4\!-\!4\!\:(2\cos\!\:\theta)^2\!+\!2=2\cos4\!\:\theta\\
\end{split}\end{equation}\tag{3.3}\]などが得られるから, 任意の\(\,n\in\mathbb{N}\,\)について,\[\textcolor{blue}{f_{2\cos\theta}(n)=2\cos n\!\:\theta}\tag{3.4}\]が成り立つと予想される.
　証明は数学的帰納法による. その骨子は, \((3.3)\,\)が\(\,(3.4)\,\)をみたすことと, \((2.1)\,\)および積和公式を用いた同値変形にある. 実際, \[\begin{equation}\begin{split}f_{\!\:2\cos\theta\!\:}(n)&
=2\cos\!\:\theta\cdot2\cos\!\:(n\!-\!1)\!\:\theta\!-\!2\cos\!\:(n\!-\!2)\!\:\theta\\
&=4\cdot\frac{1}{\,2\,}\left(\cos n\!\:\theta\!+\!\cos\!\:(n\!-\!2)\!\:\theta\,\right)\!
-\!2\cos\!\:(n\!-\!2)\!\:\theta\end{split}\end{equation}\]から\(\,(3.4)\,\)が得られる. あるいは, \((2.5)\,\)から得られる\[\begin{equation}\begin{split}f_{\!\:2\cos\theta\!\:}(n)&
=\left(\frac{\,2\cos\!\:\theta\!+\!\sqrt{(2\cos\!\:\theta)^2\!-\!4\,}\,}{2}\right)^{\!n}\!
+\left(\frac{\,2\cos\!\:\theta\!-\!\sqrt{(2\cos\!\:\theta)^2\!-\!4\,}\,}{2}\right)^{\!n}\\
&={(\cos\theta\!\:+\!\:i\sin\theta\!\:)^n+(\cos\theta\!\:-\!\:i\sin\theta\!\:)^n}^{　}
\end{split}\end{equation}\]に de Moivre の定理を適用してもよい.
　
　\((3.4)\,\)より, \(\displaystyle{\frac{\,2\pi\,}{\theta}\!\in\mathbb{N}}\,\)ならばこれが周期となる. たとえば, \(a\!=\!\sqrt{2\!\:}\,\)のときは\(\,\theta\!\,=\!\displaystyle{\frac{\,\pi\,}{4}}\,\)であるから,\[f_{\sqrt{2\!\:}\!\:}(n)=2\cos\!\frac{\,n\pi\,}{4}\]であり, 周期は\(\,\displaystyle{\frac{\,2\pi\,}{\theta}\!=\!8}\,\)である.
　
　なお, \((3.4)\,\)の右辺から \(f_{\!\:a\!\:}(n)\,\)と Chebyshev 多項式との関連性が見出せるが, これに関しては広く知られていることであるから本稿では割愛する.
　

§４．\(f_{\!\:a\!\:}(n)\) の性質（2）

　前述した通り, \(|\!\:\!\:a\!\:\!\:|\!>\!2\,\)の場合は, \(f_{\!\:a\!\:}(n)\,\)の値について, 特に明確な規則性や周期性は見られない. そこで, \(a\geq3\,\,\)\((a\in\mathbb{N}\!\:)\,\)として, 特定の自然数を法とする\(\,f_{\!\:a\!\:}(n)\,\)の剰余類を考えることにしよう.
　
　\(a\!=\!3\,\)とおいた\(\,(1.2)\,\)の右辺を\(\,2\,\)を法とする剰余類に分けると, 任意の\(\,k\in\mathbb{N}\,\)について \[\begin{equation}\begin{split}k\equiv 0\:\:\!\:\textrm{mod}\:3\!\:\,&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:3\!\:}(k)\equiv 0\:\:\!\:\textrm{mod}\:2\!\:\\
k\equiv\pm\,1\:\:\!\:\textrm{mod}\:3\!\:\,&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:3\!\:}(k)\equiv 1\:\:\!\:\textrm{mod}\:2\!\:\end{split}\end{equation}\]が成り立ち, \(3\,\)を法とする剰余類に分けると,
\[\begin{equation}\begin{split}k\equiv\pm\,1\:\:\!\:\textrm{mod}\:4\!\:\,&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:3\!\:}(k)\equiv 0\:\:\!\:\textrm{mod}\:3\!\:\\
k\equiv 2\:\:\!\:\textrm{mod}\:4\!\:\,&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:3\!\:}(k)\equiv 1\:\:\!\:\textrm{mod}\:3\!\:\\
k\equiv 0\:\:\!\:\textrm{mod}\:4\!\:\,&\Longleftrightarrow\,f_{\!\:3\!\:}(k)\equiv 2\:\:\!\:\textrm{mod}\:3\!\:
\end{split}\end{equation}\]が成り立つから, これらはそれぞれ周期３, 4で循環することがわかる.
　
　これらは表計算ソフト Excel を用いた数値実験により得られる結果であり, なおも続けて実験を試みれば, \(a\!\geq\!3\,\)のとき, 任意の\(\,k\,\)について\[\begin{equation}\begin{split}
\textcolor{red}{k\equiv\pm\,1\:\:\!\:\textrm{mod}\:4\!\:\,}
&\textcolor{red}{\Longleftrightarrow\,f_{\!\:a\!\:}(k)\equiv\,0\:\:\!\:\textrm{mod}\:a\!\:}\\
\textcolor{red}{k\equiv 2\:\:\!\:\textrm{mod}\:4\!\:\,}
&\textcolor{red}{\Longleftrightarrow\,f_{\!\:a\!\:}(k)\equiv -2\:\:\!\:\textrm{mod}\:a\!\:}\\
\textcolor{red}{k\equiv 0\:\:\!\:\textrm{mod}\:4\!\:\,}
&\textcolor{red}{\Longleftrightarrow\,f_{\!\:a\!\:}(k)\equiv\,2\:\:\!\:\textrm{mod}\:a\!\:}
\end{split}\end{equation}\tag{4.1}\]\[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{red}{k\equiv 3\:\:\!\:\textrm{mod}\:6\!\:\,}
&\textcolor{red}{\Longleftrightarrow\,f_{\!\:a\!\:}(k)\equiv -2\:\:\!\:\textrm{mod}\:(a\!-\!1)\!\:}\\
\textcolor{red}{k\equiv\pm\,2\:\:\!\:\textrm{mod}\:6\!\:\,}
&\textcolor{red}{\Longleftrightarrow\,f_{\!\:a\!\:}(k)\equiv -1\:\:\!\:\textrm{mod}\:(a\!-\!1)\!\:}\\
\textcolor{red}{k\equiv\pm\,1\:\:\!\:\textrm{mod}\:6\!\:\,}
&\textcolor{red}{\Longleftrightarrow\,f_{\!\:a\!\:}(k)\equiv 1\:\:\!\:\textrm{mod}\:(a\!-\!1)\!\:}\\
\textcolor{red}{k\equiv 0\:\:\!\:\textrm{mod}\:6\!\:\,}
&\textcolor{red}{\Longleftrightarrow\,f_{\!\:a\!\:}(k)\equiv 2\:\:\!\:\textrm{mod}\:(a\!-\!1)\!\:}
\end{split}\end{equation}\tag{4.2}\]が成り立ち, \(a\!\geq\!4\,\) のとき, 任意の\(\,n\in\mathbb{N}\,\)について\[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{red}{f_{\!\:a\!\:}(n)\equiv 2\:\:\!\:\textrm{mod}\:(a\!-\!2)\!\:}
\end{split}\end{equation}\tag{4.3}\]が成り立つと予想される.
　
　\((4.1)\), \((4.2)\), \((4.3)\,\)は, \((1.1)\,\)および\(\,(2.1)\,\)を用いた同値変形により示せる. たとえば, \(a\!-\!1\,\)を法とする\(\,(4.2)\,\)については,\[\begin{equation}\begin{split}f_{\!\:a\!\:}(1)&=a\equiv 1\\
f_{\!\:a\!\:}(2)&=1^2\!-\!2\equiv -1\\
f_{\!\:a\!\:}(3)&=1^3-3\cdot 1\equiv -2\end{split}\end{equation}\]を\(\,(2.1)\,\)に適用すればよい. 他の場合についても同様である.
　
　なお, \(m\!\!\!\:\,\geq\!3\,\,(\!\:m\in\mathbb{N}\!\:)\,\)を定数として, \(\textrm{mod}\,(a\!-\!m\!\:)\,\)の場合についても種々の数値実験を試みたが, 上記のように\(\,a\,\)の値を固定して\(\,n\,\)の値を動かした場合については特に明確な規則性は見出せなかった. 一方, \(n\,\)の値を固定して, \(a\geq m\!+\!2\,\)をみたす範囲で\(\,a\,\)の値を動かした場合, \[a\geq m^{\!\:2}\!+m-\!1 \Longrightarrow f_{\!\:a\!\:}(2)\equiv m^{\!\:2}\!-\!2\,\,
\textrm{mod}\,(a\!-\!m\!\:)\]が成り立つと予想されるが, これは剰余の定理から明白であろう. これについては, 一般に\[a\geq f_{\!\:m\!\:}(n)\!+m+\!1 \Longrightarrow f_{\!\:a\!\:}(n)
\equiv f_{\!\:m\!\:}(n)\,\,\textrm{mod}\,(a\!-\!m\!\:)\]が成り立つ.

§５．\(f_{\!\:a\!\:}(r)\,\,(r\in\mathbb{Q})\) への拡張

　前節までは変数を\(\,n\in\mathbb{N}\,\)として\(\,f_{\!\:a\!\:}(n)\,\)を考察してきたが, これを正の有理数に変えてみよう. すなわち, \(x\!>\!0\,\)として, \(f_{\!\:a\!\:}(r)\,\,(\,r\in\mathbb{Q}^{+}\!\,)\,\)を考える. たとえば, \[f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\!\frac{1}{\,2\,}\!\!\right)\,
=\sqrt{x\,}+\!\frac{1}{\!\sqrt{x\,}}\] については, \[\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!
\left(\!\!\frac{1}{\,2\,}\!\!\right)\!\right)^{\!2}\!
=a+2\,\,\textbf{すなわち}\,\,a=\!\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\!\frac{1}{\,2\,}\!\!\right)\!\right)^{\!2}\!-2\]が成り立ち, \[f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\!\frac{1}{\,3\,}\!\!\right)\,=\sqrt[3]{x\,}+\!\frac{1}{\!\sqrt[3]{x\,}}\] については, \[\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\!\frac{1}{\,3\,}\!\!\right)\!\right)^{\!3}
=a+3f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\!\frac{1}{\,3\,}\!\!\right)\,\,\textbf{すなわち}\,\,a=\!\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\!\frac{1}{\,3\,}\!\!\right)\!\right)^{\!3}
\!-3f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\!\frac{1}{\,3\,}\!\!\right)\]が成り立つ. 同様に計算すると, \((1.1)\,\)に類似した関係式\[\begin{equation}\begin{split}\textcolor{blue}{a\,}
&\textcolor{blue}{\,=\!\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\,2\,}\!\right)\!\right)^{\!2}\!-\!2}\\
&\textcolor{blue}{\,=\!\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\,3\,}\!\right)\!\right)^{\!3}\!-3f_{\!\:a\!\:}
\!\left(\!\frac{1}{\,3\,}\!\right)}\\
&\textcolor{blue}{\,=\!\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\,4\,}\!\right)\!\right)^{\!4}\!-4\left(f_{\!\:a\!\:}
\!\left(\!\frac{1}{\,4\,}\!\right)\!\right)^{\!2}+2}\\
&\textcolor{blue}{\,=\!\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\,5\,}\!\right)\!\right)^{\!5}\!-5\left(f_{\!\:a\!\:}
\!\left(\!\frac{1}{\,5\,}\!\right)\!\right)^{\!3}+5f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\,5\,}\!\right)}\\
&\textcolor{blue}{\,=\!\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\,6\,}\!\right)\!\right)^{\!6}\!-6\left(f_{\!\:a\!\:}
\!\left(\!\frac{1}{\,6\,}\!\right)\!\right)^{\!4}+9\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\,6\,}\!\right)\!\right)^{\!2}-2}\\
\:\:\:\:\:&\textcolor{blue}{\cdots\cdots^{　}}
\end{split}\end{equation}\tag{5.1}\]が得られる.
　一般に, 任意の\(\,n\in\mathbb{N}\,\)について, \((2.2)\,\)あるいは\(\,(2.3)\,\)の右辺における\(\,a\,\)に\(\,\displaystyle{f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{n}\!\right)}\,\)を代入したものは\(\,a\,\)に等しい. すなわち, \[\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\!\:n\!\:}\!\right)\!\right)^n
+\sum_{k\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{n}{\:2^{\!　}}\right]}\!\left(\frac{(-1)^k\cdot n}{k\!\,\,!}\,\left(\prod_{\,i\!\:=\!\:k+1}^{2k-1}\!(\!\:n\!-\!i\!\:)\right)\,
\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{1}{\!\:n\!\:}\!\right)\right)^{\!n-2k}\right)=f_{\!\:a\!\:}(1)\]が成り立つ.
　
　さらに計算を進めれば,\[\begin{equation}\begin{split}\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!
\left(\!\frac{2}{\!\:n\!\:}\!\right)\!\right)^{\!n}&
+\sum_{k\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{n}{\:2^{\!　}}\right]}\!\left(\frac{(-1)^k\cdot n}{k\!\,\,!}\,
\left(\prod_{\,i\!\:=\!\:k+1}^{2k-1}\!(\!\:n\!-\!i\!\:)\right)\left(f_{\!\:a\!\:}\!
\left(\!\frac{2}{\!\:n\!\:}\!\right)\!\right)^{\!n-2k}\right)=f_{\!\:a\!\:}(2)\\
\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{3}{\!\:n\!\:}\!\right)\!\right)^{\!n}&
+\sum_{k\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{n}{\:2^{\!　}}\right]}\!
\left(\frac{(-1)^k\cdot n}{k\!\,\,!}\,\left(\prod_{\,i\!\:=\!\:k+1}^{2k-1}\!(\!\:n\!-\!i\!\:)\right)
\left(f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{3}{\!\:n\!\:}\!\right)\!\right)^{\!n-2k}\right)=f_{\!\:a\!\:}(3)\\
&{\cdots\cdots^{　}}^{　}\end{split}\end{equation}\]などの関係式が得られるから, これより, \(n\!\geq\!2\,\)をみたす任意の\(\,n\in\mathbb{N}\,\)および\(\,m\in\mathbb{N}\,\)について, \[\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{\!\:\!\!\!\:\:\:m^{\!\!\!　}}{\!\:n\!\:}\!\right)\!\right)^{\!n}
+\sum_{k\!\:=\!\:1}^{\left[\frac{n}{\:2^{\!　}}\right]}\!\left(\frac{(-1)^k\cdot n}{k\!\,\,!}\,\left(\prod_{\,i\!\:=\!\:k+1}^{2k-1}\!(\!\:n\!-\!i\!\:)\right)\,
\left(\!f_{\!\:a\!\:}\!\left(\!\frac{\!\!\!\!\:\:\:\:m^{\!\!\!　}}{\!\:n\!\:}\!\right)\!\right)^{\!n-2k}\right)
=f_{\!\:a\!\:}(m)\]が成り立つと予想される. これは\(\,(2.3)\,\)と同様に数学的帰納法 (二重帰納法) により証明できるが, 煩雑である.
　
　\(f_{a}(r)\,\)についての以上の結果は\(\,f_{a}(n)\,\)から派生した単なる数式上の遊戯に過ぎず, 残念ながら本質的に新しい成果をもたらすものではない.
　

§６．おわりに

　本稿は, 冒頭に掲げた入試問題を端緒とした数値実験の中で気づいたことをいくつか挙げたまでであるから, この話題に関連する文献やウェブサイトについては (存在するのかも知れないが, 詳しく検索していないため) 紹介することができない. 代わりに, 本稿の考察をもとに創作した問題を３題ほど掲げて筆を置くことにしよう.
　
【問１】\(\displaystyle{\alpha\!\:\!\:\!+\!\frac{1}{\,\alpha\,}\!=
\!\frac{\,\sqrt{6\!\:\!\:}\!\,+\sqrt{2\!\:\!\:}\,}{2}}\,\)のとき, \(\,\displaystyle{\alpha^{100}\!+\!\frac{1}{\alpha^{100}}}\,\)の値を求めよ.
［略解］　\(\displaystyle{\frac{\,\sqrt{6\!\:\!\:}\!\,+\!\sqrt{2}\,}{2}}\!\leq 2\,\)であるから, \((3.2)\,\)より, \(2\cos\theta=\!\displaystyle{\frac{\,\sqrt{6\!\:\!\:}\!\,+\!\sqrt{2\!\:\!\:}\,}{2}}\,\)をみたす\(\,\theta\,\,(\!\:0\!\leq\!\theta\!\leq\!\pi\!\:)\,\)が一意に存在する. これを解くと\(\,\theta=\!\displaystyle{\frac{\,\pi\,}{12}}\,\)を得るから, \((3.4)\,\)より,\[\alpha^{100}\!+\!\frac{1}{\alpha^{100}}\!=f_{\!\:2\cos\!\frac{\,\pi\,}{12^{\!\!\!　}}}(100)
=2\cos\!\frac{\,100\pi\,}{12}=2\cos\!\frac{\,4\pi\,}{12}=1.\]【問２】実数解をもたない二次方程式\(\,x^2\!-\!ax\!+\!1=0\:(\!\:a\in\mathbb{R})\,\)の解\(\,\alpha\,\)について, \(\displaystyle{\left|\,\alpha^{100}\!+\!\frac{1}{\alpha^{100}}\right|\leq\!2}\,\)であることを示せ.
［略解］　\(\displaystyle{\alpha\!\,+\!\:\!\frac{1}{\,\alpha\,}\!=a}\,\)かつ\(\,|\!\:\!\:a\!\:\!\:|\!<\!\:\!2\,\)であるから, \((3.2)\,\)および\(\,(3.4)\,\)より, \[\left|\,\alpha^{100}\!+\!\frac{1}{\alpha^{100}}\right|=
\left|\!\:f_{\!\:2\cos\theta}(100)\!\:\right|=\left|\!\:2\cos100\!\:\theta\!\:\!\:\!\:\right|\!\leq 2\] をみたす\(\,\theta=\cos^{-1}\!\displaystyle{\frac{a}{\,2\,}}(\!\:0\!\leq\!\theta\!\leq\!\pi\!\:)\,\)が一意に存在する. 等号成立条件は, \(\theta\!\!\:\!\:=\!\!\displaystyle{\frac{\,\pi\,}{2}}\,\)すなわち\(\,a\!=\!0\).
　
【問３】異なる２実数解をもつ二次方程式\(\,x^2\!-\!ax\!+\!1=0\:(\!\:a\in\mathbb{N}\!\:)\,\)の解\(\,\alpha\,\)について, \(\displaystyle{\left[\,\alpha^{100}\!+\!\frac{1}{\alpha^{100}}\right]}\,\)を\(\,a\!-\!1\,\)で割ったときの余りを求めよ.
［略解］　\(\displaystyle{\alpha\!\,+\!\frac{1}{\,\alpha\,}\!=a}\,\)かつ\(\,a\geq\!\:\!3\,\)であり, \((1.1)\,\)および\(\,(2.1)\,\)より\(\,f_{a\!\:}(1)\in\mathbb{N}\,\Longrightarrow\!\,f_{\!\:a\!\:}(100)\in\mathbb{N}\,\)であるから, \((4.2)\,\)を適用する. \(100\equiv -2\,\,\textrm{mod}\,6\,\)であるから,\[\alpha^{100}\!+\!\frac{1}{\alpha^{100}}=f_{a\!\:}(100)\equiv -1\,\,\textrm{mod}\,(a\!-\!1).\]　ゆえに, 求める余りは\(\,a\!-\!2\).
　