フィボナッチ数に関する一考察
埼玉県高等学校数学教育研究会
2012年２月 執筆
§１．Fibonacci 数
　漸化式\[\textcolor{blue}{F_{0}=0,\,\,F_{1}=F_{2}=1,\,\,\,
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}\:\:(\!\:n\in\mathbb{N}\!\:)\]で定義される Fibonacci 数列\(\,\{F_{n}\}\,\)の各項
\[F_{0}=0,\,\,F_{1}=1,\,\,F_{2}=1,\,\,F_{3}=2,\,\,F_{4}=3,
\,\,F_{5}=5,\,\,F_{6}=8,\,\,F_{7}=13,\,\,\cdots\cdots\]を Fibonacci 数という.
　
　\(\{F_{n}\}\) の一般項を求める問題は大学入試における頻出問題である.
　
　入試においては, 特性方程式の２解 \(\alpha\!=\!\displaystyle{\frac{1\!-\!\sqrt{5}}
{2},\,\beta\!=\!\frac{1\!+\!\sqrt{5}}{2}}\) による式変形\[\begin{equation}\begin{split}
&F_{n+2}\!-\!\alpha F_{n+1}=\beta\,(F_{n+1}\!-\!\alpha F_{n-1})_{　}\\
&F_{n+2}\!-\!\beta F_{n+1}=
\alpha\,(F_{n+1}-\beta F_{n-1})^{　}\end{split}\end{equation}\]から求められる２式\[\begin{equation}\begin{split}F_{n+1}-\alpha F_{n}=\beta^{\!\:n}\\
F_{n+1}-\beta F_{n}=\alpha^{n}
\end{split}\end{equation}\]を辺々引くことで\[\textcolor{blue}{F_{n}=}\frac{1}{\sqrt{5}}(\!\:\!\:\beta^{\,n}\!\!-\!\!\:\alpha^{n})
=\textcolor{blue}{\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\!\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\!\!n}
\!\!-\!\left(\!\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\!\!n}\right)}\tag{1.1}\]を得るという方法が一般的であろう.
　
　他の解法としては, 大学入試の範囲をやや逸脱するが, \(\displaystyle{\binom{F_{n+2}}{F_{n+1}}\!=\!\begin{pmatrix}
1 \!&\! 1 \\
1 \!&\! 0 \\
\end{pmatrix}\!\binom{F_{n+1}}{F_{n}}}\,\)とおいて, \(\displaystyle{\begin{pmatrix}
1 \!&\! 1 \\
1 \!&\! 0 \\
\end{pmatrix}}\,\)の固有ベクトルによる対角化 \[\begin{equation}\begin{split}\begin{pmatrix}
1 \!&\! 1 \\
1 \!&\! 0 \\
\end{pmatrix}^{\!n}\!&=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
\beta \!&\! \alpha \\
1 \!&\! 1 \\
\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}
\beta^{\!\:n} \!&\!\!\! 0 \\
0 \!&\!\! \alpha^{n} \\
\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}
1 \!&\!\! -\alpha \\
-1 \!&\!\! \beta \\
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
\beta^{\!\:n+1}-\alpha^{n+1} \!&\! \alpha\beta^{\!\:n+1}-\alpha^{n+1}\beta\, \\
\beta^{\!\:n}\!-\alpha^n \!&\! \alpha^n\beta-\alpha\beta^{\:\!n}\\
\end{pmatrix}\end{split}\end{equation}\]を用いた\[\binom{F_{n+1}}{F_{n}}\!=\!\begin{pmatrix}
1 \!&\! 1 \\
1 \!&\! 0 \\
\end{pmatrix}^{\!n}\!\binom{F_{1}}{F_{0}}
=\frac{1}{\sqrt{5}}\binom{
\beta^{\,n+1}-\alpha^{n+1}}{\,\beta^{\,n}\!-\!\alpha^{n}}\]から\(\,(1.1)\,\)を得るものが知られている.
　
　また, 母関数\(\,F(x)=\displaystyle{\sum_{n\!\:=\!\:0}^{\infty}
F_{n}x^n=\frac{x}{1\!-\!x\!-\!x^2}}\,\)の分母を\(\,(1\!-\!\beta x)(1\!-\!\alpha x)\,\)とおいて部分分数分解した \[F(x)=\frac{1}{\beta\!-\!\alpha}\left(\frac{1}{1\!-\!\beta x}-\frac{1}{1\!-\!\alpha x}\right)\]に級数展開\[\begin{equation}\begin{split}
&\frac{1}{1\!-\!\alpha x}=1+\alpha x+\alpha^2x^2+\cdots\cdots\\
&\frac{1}{1\!-\!\beta x}
=1+\beta x+\beta^{\!\:2}x^2+\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]を適用し, \[F(x)=\frac{1}{\beta\!-\!\alpha}
\left((\beta\!-\!\alpha)\,x+(\beta^{\!\:2}\!\!-\!\alpha^2)\,x^2+\cdots
+(\beta^{\!\:n}\!\!-\!\alpha^n)\,x^n+\cdots\,\right)\]から係数比較により\(\,(1.1)\,\)を得る解法もよく用いられる.
　
　\(F_{n}\,\)がみたす関係式についても, 大学入試における出題例は数多い (実際の出題例については文献 [1] 参照). その中でも, たとえば, \[\textcolor{blue}{F_{n-1}F_{n+1}\!-\!F_{n}^{\:2}=(-1)^{n}}
\tag{1.2}\]\[\textcolor{blue}
{\sum_{i\!\:\!\:=\!\:1}^{n}F_{i}^{\!\:2}
=F_{n}F_{n+1}}\tag{1.3}\]などは, 数学的帰納法により容易に示すことができる.
　
　Wolfram MathWorld のサイトに多数掲載されている代表的な関係式 \[\textcolor{blue}{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}
=\frac{1\!+\!\sqrt{5}}{2}}}\tag{1.4}\]\[\textcolor{blue}{F_{m}F_{n-1}+F_{m+1}F_{n}
=F_{m+n}}\tag{1.5}\]\[\textcolor{blue}
{F_{n+1}^{\:\:\:\:\,4}-F_{n-1}\,F_{n}\,F_{n+2}\,F_{n+3}=1}\tag{1.6}\]についても, \((1.4)\,\)は, \((1.1)\,\)を用いた式変形\[\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\displaystyle{\frac{\,\beta-\alpha
\left(\!\displaystyle{\frac{\,\alpha\,}{\beta\,}}\!\right)^{\!n}}
{1-\left(\!\displaystyle{\frac{\,\alpha\,}{\beta\,}}\!\right)^{\!n}}}\tag{1.7}\]により容易に得られ, \((1.5)\,\)および\(\,(1.6)\,\)は, 数学的帰納法 (ただし\(\,(1.5)\,\)は二重帰納法) により示すことができる.
　
　Fibonacci 数は, 多種多様な性質をもち, 現在もなお新たな定理や公式が発見され続けている魅力的な数である. 性質の意外性に対し, その多くが予備知識を要さぬ単純な考察によって得られ, 証明も比較的簡単なものが多い. 数学愛好家の格好の題材となり, Fibonacci 協会 のサイトの諸論文に見られるように, 毎年次々と新定理が増産される所以であろう.
　
　本稿では, (それが真にオリジナルであるか否かはさておき) 同値変形や数値実験によって私自身が得た関係式について, その過程を含めていくつか紹介することにしたい.
　

　
§２．同値変形による関係式
　最も簡単なものから始めよう.
　
　等式 \((x\!+\!y)(x\!-\!y)=x^2\!-\!y^2\,\)において, \(x\!=\!F_{i+1},\,\,y\!=\!F_{i}\,\)とおけば, \(F_{i+2}\,F_{i-1}=F_{i+1}^{\,\:\:\:2}\!-\!F_{i}^{\,2}\,\)を得るから, これらを\(\,i\!=\!1,\,\cdots,\,n\,\)について辺々加えることで \[F_{n+1}^{\:\:\:\:\,2}=1+\sum_{i\!\:\!\:=\!\:1}^nF_{i\!\:+2}\,F_{i\!\:-1}\]が得られる.
　
　等式\(\,x^3\!-\!y^3=(x\!-\!y)((x\!-\!y)^2\!+\!3xy)\,\)において, \(x\!=\!F_{n+1},\,\,y\!=\!F_{n}\,\)とおけば, \[F_{n+1}^{\:\:\:\:\,3}=
F_{n-1}^{\:\:\:\:\,3}+F_{n}^{\:3}+3F_{n-1}F_{n}F_{n+1}\]が得られ, 非負実数\(\,x,\,y\,\)についての不等式\(\,x^3\!+\!y^3\geq x^2y\!+\!xy^2\,\)において, \(x\!=\!F_{n-1},\,\,y\!=\!F_{n}\,\)とおけば,\[F_{n-1}^{\:\:\:\:\,3}+F_{n}^{\:3}\geq F_{n-1}\,F_{n}\,F_{n+1}\]
したがって, \[F_{n+1}^{\:\:\:\:\,3}\geq 4F_{n-1}\,F_{n}\,F_{n+1}\]が得られる.
　
　二項定理 \[(x\!+\!y)^m=\sum_{i\!\:=\!\:0}^{m}
\binom{m}{i}\,x^i y^{m-i}\:\:\,(\,m\in\mathbb{N}\,)\]において, \(x\!=\!F_{n-1},\,\,y\!=\!F_{n}\) とおけば,\[\sum_{i\!\:=\!\:0}^{m}\binom{m}{i}
F_{n-1}^{\:\:\:\:\,i}
\,F_{n}^{\:m-i}=F_{n+1}^{\:\:\:\:m}\]が得られる.
　
　\((1.5)\,\)において, \(m\!=\!n\,\)または\(\,m\!=\!n\!-\!1,\:n\!=\!n\!+\!1\,\)などとおけば, \[\begin{equation}\begin{split}&F_{n}F_{n-1}\!+\!F_{n+1}F_{n}={{F_{2n}}_{　}}_{　}\\
&F_{n-1}^{\:\:\:\:\:2}\!+\!F_{n}^{\:2}=F_{2n-1},
\:\:F_{n}^{\:2}\!+\!F_{n+1}^{\:\:\:\:\:2}
=F_{2n+1}\end{split}\end{equation}\tag{2.1}\]が得られるから, 恒等式 \((x^2\!+\!y^2)(z^2\!+\!w^2)=(xz\!-\!yw)^2\!
+\!(xw\!+\!yz)^2\) において, \(x\!=\!F_{n+1},\) \(y\!=\!w\!=\!F_{n},\) \(z\!=\!F_{n-1}\,\)とおいた\[(F_{n+1}^{\:\:\:\:2}\!+\!F_{n}^{\:2})
(F_{n-1}^{\:\:\:\:2}\!+\!F_{n}^{\:2})
=(F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{\:2})^2\!+
\!(F_{n+1}F_{n}\!+\!F_{n}F_{n-1})^2\]に, \((1.2)\,\)および\(\,(2.1)\,\)を適用すれば,\[F_{{}_{2\,n\,+\!\:1}}F_{{}_{2\,n\,-\!\:1}}=F_{2n}^{\:\:2}+1\]が得られる.
　
　これらの式変形は特に工夫を要しないものであり, 誰でも容易に思いつくものであろう. このような簡単な数学的遊戯からでも次々と新たな関係式が得られるのが Fibonacci 数の魅力と言えよう.
　
　さて, Euler の公式\[\frac{x^3}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^3}{(y-x)(y-z)}
+\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}=x+y+z\] において, \(x\!=\!F_{n-1},\:\) \(y\!=\!F_{n},\:\) \(z\!=\!-F_{n+1}\,\)とおけば,\[\frac{F_{n-1}^{\:\:\:\:\,3}}{(F_{n-1}\!+\!F_{n+1})(F_{n-1}\!-\!F_{n})}
-\frac{F_{n}^{\:3}}{(F_{n}\!+\!F_{n+1})(F_{n-1}\!-\!F_{n})}
=\frac{F_{n+1}^{\:\:\:\:\,3}}{(F_{n-1}\!+\!F_{n+1})(F_{n}\!+\!F_{n+1})}\]が得られる.
　

　恒等式 \[x^4\!+\!y^4\!+\!z^4\!-\!2x^2y^2\!-\!2y^2z^2\!-\!2z^2x^2
=-\,(x\!+\!y\!+\!z)(-x\!+\!y\!+\!z)(x\!-\!y\!+\!z)(x\!+\!y\!-\!z)\] において, \(x\!=\!F_{n-1}\,,\,\,y\!=\!F_{n}\,,\,\,z\!=\!F_{n+1}\,\)とおけば,\[F_{n-1}^{\:\:\:\:\,4}\!+\!F_{n}^{\:4}\!+\!F_{n+1}^{\:\:\:\:\,4}
=2\left(F_{n-1}^{\:\:\:\:\,2}\,F_{n}^{\:2}+F_{n}^{\:2}\,F_{n+1}^{\:\:\:\:\,2}
\!+\!F_{n+1}^{\:\:\:\:\,2}\,F_{n-1}^{\:\:\:\:\,2}\right)\]が得られる.
　
　Chebyshev の不等式\[\frac{x_{{}_1}y_{{}_1}\!+\!x_{{}_2}y_{{}_2}\!+\!x_{{}_3}y_{{}_3}}
{3}\geq\frac{x_{{}_1}\!+\!x_{{}_2}\!+\!x_{{}_3}}{3}\cdot
\frac{y_{{}_1}\!+\!y_{{}_2}\!+\!y_{{}_3}}{3}\]において, \(x_{{}_i}\!=
\!F_{{}_{n\,+\,i\,-\,2}},\:\) \(y_{{}_i}\!=\!F_{{}_{n\,+\,i\,-\,1}}\,\)とおけば, \[F_{n-1}F_{n}\!+\!F_{n}F_{n+1}\!
+\!F_{n+1}F_{n+2}>\frac{1}{3}
\cdot (F_{n-1}\!+\!F_{n}\!+\!F_{n+1})
(\,F_{n}\!+\!F_{n+1}\!+\!F_{n+2})\]が得られ, \((2.1)\,\)および\(\,(1.3)\,\)を適用すれば\[3F_{2n}>\sum_{i=1}^{n+1}{F_{i}}^2\]が得られる.
　
　相加平均と相乗平均の関係から作られる不等式\[\frac{x_{1}^{\:4}\!+\!x_{2}^{\:4}\!+\!
x_{3}^{\:4}\!+\!x_{i}^{\:4}}{4}
\geq x_{{}_1}\,x_{{}_2}\,x_{{}_3}\,x_{{}_i}\]を, \(i\!=\!1,2,3\) について辺々加えて得られる \[x_{1}^{\:4}\!+\!x_{2}^{\:4}\!+
\!x_{3}^{\:4}\geq x_{{}_1}\,x_{{}_2}\,x_{{}_3}
\,(x_{{}_1}\!+\!x_{{}_2}\!+\!x_{{}_3})\] において, \(x_{{}_i}\!=\!F_{n+i-2}\,\)を代入すれば,\[F_{n-1}^{\:\:\:\:\,4}+F_{n}^{\:4}
+F_{n+1}^{\:\:\:\:\,4}
> 2F_{{}_{n\!\:\!\:-\!\:\!\:1}}\,F_{{}_{n}}\,F_{n+1}^{\:\:\:\:\:2}\]が得られる.
　
　また, 同様にして作られる\[F_{n-1}^{\:\:\:\:\,5}\!+\!F_{n}^{\:5}\!+\!
F_{n+2}^{\:\:\:\:\,5}\!+\!F_{n+3}^{\:\:\:\:\,5}
> F_{n-1}\,F_{n}\,F_{n+2}\,F_{n+3}\,(F_{n-1}\!+\!F_{n}\!+\!F_{n+2}\!+\!F_{n+3})\]に\(\,(1.6)\,\)を適用すれば, \[F_{n-1}^{\:\:\:\:\,5}+F_{n}^{\:5}+
F_{n+2}^{\:\:\:\:\,5}+F_{n+3}^{\:\:\:\:\,5}
> 2\,(F_{n+1}^{\:\:\:\:\,4}-1)\,F_{{}_{n\,+\,3}}\]が得られる.
　
　\(\tan\theta_{n}=\displaystyle{\frac{1}{F_{n}}}\,\)とおけば, \[\begin{equation}\begin{split}&\:\:\:\:\:\:
\tan\,(\theta_{n}\!+\!\theta_{n+1})-\tan\theta_{n-1}\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{1}{F_{n}}+\frac{1}{F_{n+1}}}}
{1-\displaystyle{\frac{1}{F_{n}}\cdot\frac{1}{F_{n+1}}}}-\frac{1}{F_{n-1}}
=\frac{F_{n}\!+\!F_{n+1}}{F_{n}\cdot F_{n+1}\!-\!1}-\frac{1}{F_{n-1}}\\
&=\frac{F_{n-1}\cdot F_{n+1}\!-\!F_{n}(F_{n+1}\!-\!F_{n-1})\!+\!1}{(F_{n}\cdot F_{n+1}\!-\!1)\,F_{n-1}}=\frac{F_{n-1}
\cdot F_{n+1}\!-\!F_{n}^{\:2}\!+\!1}{(F_{n}\cdot F_{n+1}\!-\!1)\,F_{n-1}}\end{split}\end{equation}\]が得られるから, \(\,n\,\)を３以上の奇数とすれば, \((1.2)\,\)を適用して \[\tan\,(\theta_{n}\!+\!\theta_{n+1})=\tan\theta_{n-1}\] が得られる.
　
　また, 恒等式\[\textcolor{blue}{\tan\,(\theta_{n-1}\!\!+
\!\theta_{n}\!\!+\!\theta_{n+1})=\frac{\tan\theta_{n-1}\!+\!
\tan\theta_{n}\!+\!\tan\theta_{n+1}\!-\!\tan\theta_{n-1}\tan\theta_{n}\tan\theta_{n+1}}
{1\!-\!\tan\theta_{n-1}\tan\theta_{n}\!-\!\tan\theta_{n}\tan\theta_{n+1}\!
-\!\tan\theta_{n+1}\tan\theta_{n-1}}}\tag{2.2}\]において, \(\theta_{n-1}\!=\!F_{n-1},\,\theta_{n}\!=\!F_{n},
\,\theta_{n+1}\!=\!-F_{n+1}\)\(\:\:(\,n\in\mathbb{N}\,)\,\)とおけば,\[\tan F_{n-1}\!+
\tan F_{n}\!+
\tan F_{n-1}\tan F_{n}\tan F_{n+1}=\tan F_{n+1}\]が得られる.
　
　\((2.2)\,\)において, \(\tan\theta_{n}=\displaystyle{\frac{1}{F_{n}}}\,\)とおけば,\[\begin{equation}\begin{split}
\tan\,(\theta_{n-1}\!+\theta_{n}\!+\theta_{n+1})\,
&={\,\frac{\displaystyle{\frac{1}{F_{n-1}}\!+\!\frac{1}{F_{n}}\!+\!\frac{1}{F_{n+1}}
\!-\!\frac{1}{F_{n-1}\,F_{n}\,F_{n+1}}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{F_{n-1}\,F_{n}}
\!-\!\frac{1}{F_{n}\,F_{n+1}}\!-\!\frac{1}{F_{n+1}\,F_{n-1}}}}}_{　}\\
&={{\frac{F_{n-1}\,F_{n}\!+\!F_{n}\,F_{n+1}\!+\!F_{n+1}\,F_{n-1}\!-\!1}
{F_{n-1}\,F_{n}\,F_{n+1}-(F_{n-1}\!+\!F_{n}\!+\!F_{n+1})}^{　}}^{　}}^{　}
\end{split}\end{equation}\]が得られるから, \(n\,\)を２以上の偶数とすれば, \((1.2)\,\)および\(\,(1.3)\,\)を用いた\[\begin{equation}\begin{split}
F_{n-1}\,F_{n}+F_{n}\,F_{n+1}&=\sum_{i=1}^{n-1}F_{i}^{\:2}
+\sum_{i=1}^{n}F_{i}^{\:2}\\
F_{n-1}\,F_{n+1}&=F_{n}^{\:2}+1\end{split}\end{equation}\]を適用して \[\begin{equation}
\begin{split}
&\:\:\:\:\:\:\:\textcolor{red}{\tan\,(\theta_{n-1}\!+\!\theta_{n}\!+\!\theta_{n+1})}\\
&=\frac{2F_{n}\,F_{n+1}}{F_{n+1}\,(F_{n}\,F_{n-1}-2)}
=\frac{\displaystyle{\frac{2}{\tan\theta_{n}\tan\theta_{n+1}}}}
{\displaystyle{\frac{1}{\tan\theta_{n+1}}
\left(\frac{1}{\tan\theta_{n}\tan\theta_{n-1}}-2\right)}}\\
&\textcolor{red}{=\frac{2\tan\theta_{n-1}}{1-2\tan\theta_{n}\tan\theta_{n-1}}}
\end{split}\end{equation}\]が得られる.
　
　また, \[\int_{}^{}\!\cos F_{n+1}x\cos F_{n}x\,dx=
\frac{1}{2}\left(\frac{\sin F_{n-1}x}{F_{n-1}}
+\frac{\sin F_{n+2}\,x}{F_{n+2}}\right)+C\]が成り立つことは, 単純な計算により確かめられるであろう.
　
　同様に, 単純な計算により,\[\begin{equation}\begin{split}
&\:\:\:\:\:\:\:\int_{}^{}\!e^{\!\:r_{{\!}_{\!\:1}\,}x}
\sin {r_{{\!}_2}\,}x\cos {r_{{\!}_3}\,}x\,dx\\
&\!\!\!=\frac{e^{\!\:r_{{\!}_{\!\:1}\!\:}x}}{2}
\left(\!\frac{{r_{{\!}_1}}\!\sin({r_{{\!}_2}}\!\!+\!{r_{{\!}_3}})\,x\!-
\!({r_{{\!}_2}}\!\!+\!{r_{{\!}_3}})\cos\,({r_{{\!}_2}}\!\!+\!
{r_{{\!}_3}})\,x}{{r_{{\!}_1}}^2\!+\!({r_{{\!}_2}}\!\!+\!{r_{{\!}_3}})^2}\!\!\!\:
+\!\:\!\!\frac{{r_{{\!}_1}}\sin({r_{{\!}_2}}\!\!-
\!{r_{{\!}_3}})\,x\!-\!({r_{{\!}_2}}\!\!-\!{r_{{\!}_3}})
\cos\,({r_{{\!}_2}}\!\!-\!{r_{{\!}_3}})\,x}
{{r_{{\!}_1}}^{2}\!+\!({r_{{\!}_2}}\!\!-\!{r_{{\!}_3}})^2}\!\!\right)\!\!
+\!C\end{split}\end{equation}\]が成り立つことが確認できるから, この等式において\(\,{r_{{\!}_{\!\:i}}}\!=\!F_{n-i+2}\,\)とおけば, \[\begin{equation}\begin{split}
&\:\:\:\:\:\:\:\int_{}^{}\!e^{F_{n\!\:+\!\:1\,}x}\sin F_{n}\,x\cos F_{n-1}\,x\,dx\\
&=\frac{e^{F_{n\!\:+\!\:1\,}x}}{2}\left(\frac{F_{n+1}\sin\!F_{n+1}x\!
-\!F_{n+1}\cos\!F_{n+1}\,x}{2{F_{n+1}}^{\!2}}\!+\!\frac{F_{n+1}\sin\!F_{n-2}\,x\!-\!F_{n-2}
\cos\!F_{n-2}\,x}{2F_{2n-1}}\right)\!\!+\!C\end{split}\end{equation}\]が得られるのである.
　

　
§３．数値実験による関係式
　かつて, 米国の Wikipedia に記載されていた等式 (2008年時には記載されていたが, 現時点 (2012年現在) では削除されている等式)\[\begin{equation}\begin{split}
&\textcolor{blue}{\sum_{i\!\:=1}^{10}F_{n\!\:+\!\:i}=11F_{n+7}}\\
&\textcolor{blue}{\sum_{i\!\:=1}^{20}F_{i}=F_{10}\,(F_{11}\!+\!F_{13})}
\end{split}\end{equation}\tag{3.1}\]を発端として, 数値実験を試みた.
　
　\(F_{n}\,\)を初項とする連続した\(\,m\,\)個の Fibonacci 数の和を\[S_{n}(m)=\sum_{i\!\:=\!\:n}^{m\!\:+\!\:n-1}\!\!F_{i}\tag{3.2}\]とおくと, \((3.1)\,\)は各々\(\,S_{n}(10)=11F_{n+7},\) \(\:F_{1}(20)=F_{10}\:(F_{11}\!+\!F_{13})\,\)と同値であり, 実際に計算すれば\[\begin{equation}\begin{split}
&S_{4}(2)\!\!&=&\:F_{4}+F_{5}&=&\:8\\
&S_{9}(4)\!\!&=&\:F_{9}+F_{10}+F_{11}+F_{12}&=&\:322\\
&S_{16}(10)\!\!&=&\:F_{16}+F_{17}+\cdots\cdots+F_{25}&=&\:194821\\
\:\:\:\:\:&\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]などが成り立つ. このとき,\[\begin{equation}\begin{split}
&S_{n}(2)=F_{n+3}-F_{n+1}\\
&S_{n}(3)=F_{n+4}-F_{n+1}\\
&S_{n}(4)=F_{n+5}-F_{n+1}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]などを得ることは容易であるから, 等式\(\,S_{n}(m)=
F_{m+n+1}\!-F_{n+1}\,\)が予想される. これは, 定義からただちに得られる等式\[\sum_{i\!\:=\!\:1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1\]を用いて容易に示せる.
　
　\(\{F_n\}\,\)の定義から\(\,S_{n}(2)=F_{n+2}\,\)であり,\[\begin{equation}\begin{split}&S_{1}(3)=F_{5}-F_{2}=2\cdot2\\
&S_{2}(3)=F_{6}-F_{3}=2\cdot3\\
&S_{3}(3)=F_{7}-F_{4}=2\cdot5\\
&S_{4}(3)=F_{8}-F_{5}=2\cdot8\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]などの数値実験結果から\(\,\textcolor{blue}
{S_{n}(3)=2F_{n+2}}\,\)が得られる. また,\[\begin{equation}\begin{split}&S_{1}(4)=F_{6}-F_{2}=7\\
&S_{2}(4)=F_{7}-F_{3}=11\\
&S_{3}(4)=F_{8}-F_{4}=18\\
&S_{4}(4)=F_{9}-F_{5}=29\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]あるいは\[\begin{equation}
\begin{split}&S_{1}(5)=F_{7}-F_{2}=12\\
&S_{2}(5)=F_{8}-F_{3}=19\\
&S_{3}(5)=F_{9}-F_{4}=31\\
&S_{4}(5)=F_{10}-F_{5}=50\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]などの数値実験結果からは特定の公約数を見出すことはできないが, \(S_{n}(6)\,\)については\[\begin{equation}\begin{split}&S_{1}(6)=F_{8}-F_{2}=4\cdot5\\
&S_{2}(6)=F_{9}-F_{3}=4\cdot8\\
&S_{3}(6)=F_{10}-F_{4}=4\cdot13\\
&S_{4}(6)=F_{11}-F_{5}=4\cdot21\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots
\end{split}\end{equation}\]などから\(\,S_{n}(6)=4F_{n+4}\,\)が得られる.
　
　同様に数値実験を試みれば, \(S_{n}(7)\,\)および\(\,S_{n}(9)\,\)については特定の公約数を見出すことはできないが, \(S_{n}(8)\,\)および\(\,S_{n}(10)\,\)については, それぞれ\(\,3,\:11\,\)の倍数になることがわかる. 特に後者については\(\,S_{n}(10)=11F_{n+6}\,\)と書き表せる (これは\(\,(3.1)\,\)上段の式と同値である).
　
　以下, \((3.2)\,\)において\(\,m\,\)が偶数の場合について考える.
　上記の考察より\(\,S_{n}(m)\,\)は Fibonacci 数を用いて表せると予想される. \(S_{n}(6)\,\)における\(\,4\,\)や\(\,S_{n}(10)\,\)における\(\,11\,\)も異なる二つの Fibonacci 数の和として表せるということに気づけば\[\begin{equation}\begin{split}&S_{n}(6)&=&\,(F_{2}\!+\!F_{4})\,F_{n+4}\\
&S_{n}(10)&=&\,(F_{4}\!+\!F_{6})\,F_{n+6}\end{split}\end{equation}\]と書き表せる. 同様にして\[\begin{equation}\begin{split}&S_{n}(14)=(F_{6}\!+\!F_{8})\,F_{n+8}\\
&S_{n}(18)=(F_{8}\!+\!F_{10})\,F_{n+10}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]などを予想することは容易であろう.
　特定の公約数を見い出せなかった \(S_{n}(2)=F_{n+2},\:\:F_{n}(4),\:\:F_{n}(8)\) については, \(S_{n}(6)\) や \(S_{n}(10)\) などの例から, まず\(\textcolor{blue}{S_{n}(2)=(F_{0}\!+\!F_{2})\,F_{n+2}}\) であると考えられ,
\[\begin{equation}\begin{split}&S_{1}(4)=7&=1
\cdot(2\!+\!5)\:\:&=&\,F_{2}\,(F_{3}\!+\!F_{5})\\
&S_{2}(4)=11&=1\cdot(3\!+\!8)\:\:&=&\,F_{2}\,(F_{4}\!+\!F_{6})\\
&S_{3}(4)=18&=1\cdot(5\!+\!13)&=&\,F_{2}\,(F_{5}\!+\!F_{7})\\
&S_{4}(4)=29&=1\cdot(8\!+\!21)&=&\,F_{2}\,(F_{6}\!+\!F_{8})\\
&\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]あるいは
\[\begin{equation}\begin{split}&S_{1}(8)=
54&=3\cdot(5\!+\!13)\:\:&=&F_{4}\,(F_{6}\!+\!F_{7})\\
&S_{2}(8)=87&=3\cdot(8\!+\!21)\:\:&=&F_{4}\,(F_{6}\!+\!F_{8})\\
&S_{3}(8)=141&=3\cdot(13\!+\!34)&=&F_{4}\,(F_{7}\!+\!F_{9})\\
&S_{4}(8)=228&=3\cdot(21\!+\!55)&=&\,F_{4}(F_{8}\!+\!F_{10})\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]などが成り立つことから, 一般的に\[\begin{equation}\begin{split}
&S_{n}(2)&=(F_{0}\!+\!F_{2})\,F_{n+2},\:\:\:\:\:\:&F_{n}(4)&=
F_{2}\,(F_{n+2}\!+\!F_{n+4})\\
&S_{n}(6)&=(F_{2}\!+\!F_{4})\,F_{n+4},\:\:\:\:\:\:&F_{n}(8)&=
F_{4}\,(F_{n+4}\!+\!F_{n+6})\\
&S_{n}(10)&=(F_{4}\!+\!F_{6})\,F_{n+6},\:\:\:\:\:\:&F_{n}(12)&=
F_{6}\,(F_{n+6}\!+\!F_{n+8})
\\&&\cdots\cdots\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:
\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\end{split}\end{equation}\]などが得られ, まとめれば\[S_{n}(2k)=
\left(\frac{1\!-\!(-1)^k}{2}F_{2\left[\frac{k\,-\,1}{　2^{　}}\right]}
+F_{2\left[\frac{k\,+\,1}{　2^{　}}\right]}\right)
\left(F_{n+2\left[\frac{k\,+\,1}{　2^{　}}\right]}
+\frac{1\!+\!(-1)^k}{2}F_{\,k+m+2}\right)
\]すなわち\[S_{n}(2k)=\begin{cases}
\,(F_{k+1}+F_{k-1})\,F_{k+n+1}\:\:(\,k\!\equiv\!1\:\:\textrm{mod}\:2\,)\\
\,F_{k}\,(F_{k+n+2}+F_{k+n})\:\:\:\:\:\:(\,k\!\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:2\,)^{{}^{　}}\end{cases}\]のように書き表せる.
　
　この等式の右辺は, 漸化式\[\textcolor{blue}{L_{0}=2,\,\,L_{1}=1,\,\,L_{2}=3,\,\,\,
L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}}\:\:(\!\:n\in\mathbb{N}\!\:)\]で定義される Lucas 数列\(\,\{L_{n}\}\,\)
\[L_{0}=2,\,\,L_{1}=1,\,\,L_{2}=3,\,\,L_{3}=4,\,\,L_{4}=7,
\,\,L_{5}=11,\,\,L_{6}=18,\,\,L_{7}=29,\,\,\cdots\cdots\] の性質\[L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}\]を用いて \[\textcolor{red}{S_{n}(2k)=\begin{cases}
L_{k}\,F_{k+n+1}\:\:(\,k\!\equiv\!1\:\:\textrm{mod}\:2\,)\\
F_{k}\,L_{k+n+1}\:\:(\,k\!\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:2\,)^{{}^{　}}\end{cases}}\]のように簡潔にまとめられる.
　
　さて, \(\{F_{n}\}\,\)の定義から得られる\[\frac{F_{n}\!+\!F_{n+1}}{F_{n+2}}=1\]から発想を得て\[P_{n}(m)=
\frac{F_{n}\!+\!F_{n+2m}}{F_{n+m}}\]なる形の式を用いて数値実験を試みた.\[\begin{equation}\begin{split}&P_{1}(1)=\frac{F_{1}\!+\!F_{3}}{F_{2}}=3,
\:\:\:\:\:&P_{2}(1)&=\frac{F_{2}\!+\!F_{4}}{F_{3}}=2,\\
&P_{3}(1)=\frac{F_{3}\!+\!F_{5}}{F_{4}}=2.333\cdot\cdots,
\:\:\:\:\:&P_{4}(1)&=\frac{F_{4}\!+\!F_{6}}{F_{5}}=2.2,\\
&P_{5}(1)=\frac{F_{5}\!+\!F_{7}}{F_{6}}=2.25,
\:\:\:\:\:&P_{6}(1)&=\frac{F_{6}\!+\!F_{8}}{F_{7}}=2.230\cdot\cdots
\end{split}\end{equation}\]は定数にはならないが, \(F_{n}\,\)の一般項から判断して\[\textcolor{blue}{\lim_{n\to\infty}P_{n}(1)=\sqrt{5\!\:}}\]であることが予想される. また,\[\begin{equation}\begin{split}&P_{2}(1)=\frac{F_{1}\!+\!F_{5}}{F_{3}}=3\\
&P_{2}(2)=\frac{F_{2}\!+\!F_{6}}{F_{4}}=3\\
&P_{2}(3)=\frac{F_{3}\!+\!F_{7}}{F_{5}}=3\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]などから\[\textcolor{blue}{P_{n}(2)
=\frac{F_{n}\!+\!F_{n+4}}{F_{n+2}}=3}\]であることが予想され, さらに,\[\begin{equation}\begin{split}&P_{3}(1)=
\frac{F_{1}\!+\!F_{7}}{F_{4}}=4.666\cdots&=&\:2\,P_{3}(1)\\
&P_{3}(2)=\frac{F_{2}\!+\!F_{8}}{F_{5}}=4.4&=&\:2P_{4}(1)\\
&P_{3}(3)=\frac{F_{3}\!+\!F_{9}}{F_{6}}=4.5&=&\:2P_{5}(1)\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]などから\[\textcolor{blue}{\lim_{n\to\infty}P_{3}(n)
=\lim_{n\to\infty}2P_{1}(n)=2\sqrt{5\,}}\]であることも予想される. これらの関係式は, \((1.7)\,\)あるいは定義からの簡単な等式変形によって高校生でも容易に証明できるであろう.
　
　同様の数値実験により, \[\begin{equation}\begin{split}&\:\:P_{n}(2)=3,\:\:P_{n}(4)=7,\:\:P_{n}(6)=18,\:\:
P_{n}(8)=47,\:\:P_{n}(10)=123,\:\:\cdots\cdots\\
&\lim_{n\to\infty}P_{n}(1)=\sqrt{5\,},\:\:\lim_{n\to\infty}P_{n}(3)=2\sqrt{5\,},
\:\:\lim_{n\to\infty}P_{n}(5)=5\sqrt{5\,},{}^{{{}^{{　}^{　}}}}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\lim_{n\to\infty}P_{n}(7)=13\sqrt{5\,},
\:\:\lim_{n\to\infty}P_{n}(9)=34\sqrt{5\,},
\:\:\lim_{n\to\infty}P_{n}(11)=89\sqrt{5\,}
\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]すなわち\[\begin{equation}\begin{split}
&\textcolor{blue}{P_{n}(m)=F_{m-1}+F_{m+1}=L_{m}
\:\:(\,m\!\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:2\,)}\\
&\textcolor{blue}{\lim_{n\to\infty}P_{n}(m)=F_{m}\sqrt{5\,}\:\:\:
\:\:\:(\,m\!\equiv\!1\:\:\textrm{mod}\:2\,)^{{}^{　}}}
\end{split}\end{equation}\tag{3.3}\]が得られる.
　
　また, \(P_{n}(m)\,\)の右辺の符号を換えて\[Q_{n}(m)=
\frac{F_{n\!\:+2m}-F_{n}}{F_{n\!\:+m}}\]なる形の式で数値実験を試みれば\[\begin{equation}\begin{split}
&\textcolor{blue}{Q_{n}(m)=F_{m-1}+F_{m\!\:+1}=L_{m}
\:\:(\,m\!\equiv\!1\:\:\textrm{mod}\:2\,)}\\
&\textcolor{blue}{\lim_{n\to\infty}Q_{n}(m)=F_{m}\sqrt{5\,}\:\:\:
\:\:\:(\,m\!\equiv\!0\:\:\textrm{mod}\:2\,)^{{}^{　}}}
\end{split}\end{equation}\tag{3.4}\]が得られるから, \((3.3)\,\)および\(\,(3.4)\,\)をまとめれば,\[\begin{equation}\begin{split}
&\frac{F_{n\!\:+2m}+(-1)^m F_{n}}{F_{n\!\:+m}}=L_{m}\\
&\lim_{n\to\infty}
\frac{F_{n\!\:+2m}-(-1)^m F_{n}}{F_{n\!\:+m}}=F_{m}\sqrt{5\,}^{{}^{{}^{{}^{　}}}}
\end{split}\end{equation}\]が得られる.
　
　ところで, Fibonacci 数と二項係数の関係として, Wolfram MathWorld のサイトには\[\textcolor{blue}{\sum_{i\!\:=\!\:0}^{m}\binom{m}{i}
F_{n+\!\:i}=F_{n\!\:+2m}}\tag{3.5}\]すなわち\[\begin{equation}\begin{split}&F_{n}+2F_{n+1}+F_{n+2}&=&\:F_{n+4}\\
&F_{n}+3F_{n+1}+3F_{n+2}+F_{n+3}&=&\:F_{n+6}\\
&F_{n}+4F_{n+1}+6F_{n+2}+4F_{n+3}+F_{n+4}&=&\:F_{n+8}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]をはじめ, \[\begin{equation}\begin{split}
\textcolor{blue}{\sum_{i\!\:=\!\:0}^{m}\binom{m}{i}
F_{k-\!\:i\,}{F_{n}}^{\!i\,}{F_{n\!\:+1}}^{\!\!m-\!\:i}=F_{mn+k}}\\
(\,k\in\mathbb{Z},\:\:F_{-n}\!=(-1)^{n+1}F_{n}\,)\:\:\:\:\:
\end{split}\end{equation}\]すなわち\[\begin{equation}\begin{split}
&2F_{n}+3F_{n+1}&=&\:F_{n+4}\\
&5F_{n}+8F_{n+1}&=&\:F_{n+6}\\
&13F_{n}+21F_{n+1}&=&\:F_{n+8}\\
&\:\:\:\:\cdots\cdots\\
&{F_{n+1}}^{\!2}+{F_{n}}^{\!2}&=&\:F_{2n+1}\\
&{F_{n+1}}^{\!3}+3{F_{n}}^{\!2}F_{n+1}-{F_{n}}^{\!3}&=&\:F_{3n+1}\\
&\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]など種々の等式が掲載されている.
　
　昨年に発表した拙稿 昨年に発表した拙稿 [3] においては冪和に二項係数を冠した交代和を考察した. これに基づいて同様の数値実験を試みると,\[\begin{equation}\begin{split}&F_{n}-2F_{n-1}+F_{n-2}&=&\:F_{n-4}\\
&F_{n}-3F_{n-1}+3F_{n-2}-F_{n-3}&=&\:F_{n-6}\\
&F_{n}-4F_{n-1}+6F_{n-2}-4F_{n-3}+F_{n-4}&=&\:F_{n-8}\\
&\:\:\:\:\cdots\cdots\end{split}\end{equation}\]などから, \[\sum_{i\!\:=\!\:0}^{m}(-1)^{i}
\binom{m}{i}F_{n-\!\:i}=F_{n-2m}\]が得られるが, これは \((3.5)\,\)の\(\,F_{-n}\,\)への拡張と言えよう.
　
　同じく [3] において考察した等差数列の冪の疑似交代和についても数値実験を試みた.
　\(F_{n}\,\)の定義から得られる\[F_{n}-F_{n-1}+F_{n-2}=0\]から発想を得て\(\,{F_{i}}^{2}\,\)について同様の関係式を模索すると, \(n\:(\in\mathbb{Z})\) についての恒等式\[\textcolor{blue}{{F_{n}}^{\!2}-2{F_{n-1}}^{\!2}-2{F_{n-2}}^{\!2}
+{F_{n-3}}^{\!2}=0}\tag{3.6}\]が得られる.
　他にも係数や項数をさまざまに動かして実験を試みたのであるが, 上式以外に恒等式を得ることはできなかった.
　続けて\(\,{F_{i}}^{3}\,\)について試行錯誤を繰り返すことにより\[\textcolor{blue}{{F_{n}}^{\!3}
-3{F_{n-1}}^{\!3}-6{F_{n-2}}^{\!3}
+3{F_{n-3}}^{\!3}+{F_{n-4}}^{\!3}=0}\tag{3.7}\]を発見した.
　
　以下, これを一般化した恒等式を構成するために\[\sum_{i\!\:=\!\:0}^{k\!\:+1}
{\varphi_{i}}^{\!k}{F_{n-\!\:i}}^{\!k}\]の形の式を考察することにする.
　項数が \(k\!+\!1\) であることは\(\,(3.6)\,\)および\(\,(3.7)\,\)から類推したに過ぎず, この段階ではこの形の式が正しいか否かは判断できない. 各項の係数\(\,{\varphi_{i}}^{\!k}\,\)を確定できれば一般化が可能であるが, 数値実験をもって試行錯誤するためには, まずは\(\,(3.6),\:(3.7)\,\)をヒントにするほかはないのである.
　
　符号はともかくとして係数の絶対値に対称性が存在することは予想がつく. \((3.6),\:(3.7)\,\)における\(\,{\varphi_{1}}^{\!2}\!=\!-2,\:\:{\varphi_{1}}^{\!3}\!=\!-3\,\)から\(\,{\varphi_{1}}^{\!4}\!=\!-4\,\)であると予想して\(\,F_{i}^{\,4}\,\)の場合について試行錯誤したが, なかなか恒等式が得られない. 試みに\(\,{\varphi_{1}}^{\!4}\!=\!-5\,\)として模索すると, 幸運にも数分程度の実験で\[\textcolor{blue}{{F_{n}}^{\!4}-5{F_{n-1}}^{\!4}-15{F_{n-2}}^{\!4}+15{F_{n-3}}^{\!4}
+5{F_{n-4}}^{\!4}-{F_{n-5}}^{\!4}=0}\tag{3.8}\]を発見できた.
　
　ここで, \({\varphi_{1}}^{\!2}\!=\!-2,\:\:{\varphi_{1}}^{\!3}\!=\!-3,\:{\varphi_{1}}^{\!4}\!=\!-5\,\)から, 各等式の第２項の係数については \[{\varphi_{1}}^{\!k}=-F_{k+1}\tag{3.9}\]であることが予想される.
　また, 各等式の第３項の係数\(\,{\varphi_{2}}^{\!2}\!=\!-2,\:\:{\varphi_{2}}^{\!3}\!=\!-6,\:{\varphi_{2}}^{\!4}\!=\!-15\,\)については, \[{\varphi_{2}}^{\!k}=-F_{k}\,F_{k+1}\tag{3.10}\]であると仮定すれば辻褄が合う. 等式の後半の項の係数は対称性から得られるから問題はない. 各係数の符号に関して対称性が見られないことについてはやや不満が残るが, このまま試行錯誤を続けるほかはない.
　
　さて, 次に\(\,(3.9),\:(3.10)\,\)から\(\,{\varphi_{1}}^{\!5}\!=\!-F_{6}\!=\!-8,\:|\,{\varphi_{1}}^{\!5}|\!=\!8,\:
{\varphi_{2}}^{\!5}\!=\!-F_{5}\,F_{6}\!=\!-40,\:|\,{\varphi_{2}}^{\!5}|\!=\!40\,\)として\(\,{F_{i}}^{5}\,\)についての恒等式を模索した. 中央の項の係数\(\,{\varphi_{3}}^{\!5}\,\)の数値を種々に換えつつ恒等式になるものを探すことに十数分を費やし, \[\textcolor{blue}{{F_{n}}^{\!5}-8{F_{n-1}}^{\!5}-40{F_{n-2}}^{\!5}+60{F_{n-3}}^{\!5}
+40{F_{n-4}}^{\!5}-8{F_{n-5}}^{\!5}-{F_{n-6}}^{\!5}=0}\tag{3.11}\]を発見した.
　
　ここで問題になるのが\(\,{\varphi_{3}}^{\!5}\!=\!60\,\)である. \((3.9)\,\)あるいは\(\,(3.10)\,\)から類推される\(\,{\varphi_{3}}^{k}=F_{k-1}\,F_{k}\,F_{k+1}\,\)では係数が\(\,120\,\)になってしまい, 実際の係数と符合しない. ここで, \[{\varphi_{3}}^{\!2}\!=\!1,\:\:{\varphi_{3}}^{\!3}\!=\!3,
\:\:{\varphi_{3}}^{\!4}\!=\!15,\:\:
{\varphi_{3}}^{\!5}\!=\!60\]と \(F_{k-1}\,F_{k}\,F_{k+1}\) の関係を観察すると,\[{\varphi_{3}}^{\!2}=\frac{F_{1}\,F_{2}\,F_{3}}{2},
\:\:{\varphi_{3}}^{\!3}=\frac{F_{2}\,F_{3}\,F_{4}}{2},
\:\:{\varphi_{3}}^{\!4}=\frac{F_{3}\,F_{4}\,F_{5}}{2},
\:\:{\varphi_{3}}^{\!5}=\frac{F_{4}\,F_{5}\,F_{6}}{2}\tag{3.12}\]であることに気づく. 無論, これは単なる推測に過ぎず, この規則をもって次の冪\(\,F_{i}^{\,6}\,\)の場合についての恒等式が得られなければ誤りということになる. 各係数の符号については, \((3.11)\,\)から\[+,\:\:-,\:\:-,\:\:+\]の繰り返しになっていると予想がつく.
　そこで, \[{\varphi_{1}}^{\!6}\!=\!-F_{7}\!=\!{\varphi_{6}}^{\!6},\:\:
{\varphi_{2}}^{\!6}\!=\!-F_{6}\,F_{7}\!=\!{\varphi_{5}}^{\!6},\:\:
{\varphi_{3}}^{\!6}\!=\frac{F_{5}\,F_{6}\,F_{7}}{2}\!=\!260\!={\varphi_{4}}^{\!6}\]とおいて数値実験を試みると, \[\textcolor{blue}
{{\varphi_{n}}^{\!\!6}\!-\!13{\varphi_{n-1}}^{\!\!6}\!-
\!104{\varphi_{n-2}}^{\!\!6}
\!+\!260{\varphi_{n-3}}^{\!\!6}\!+\!260{\varphi_{n-4}}^{\!\!6}
\!-\!104{\varphi_{n-5}}^{\!\!6}\!-\!13{\varphi_{n-6}}^{\!\!6}\!+\!
{\varphi_{n-7}}^{\!\!6}\!=\!0}\tag{3.13}\]が得られた.
　
　それでは\(\,(3.12)\,\)における分母にどのような規則性が存在するのであろうか. 以上の考察から得た\[{\varphi_{1}}^{\!k}\!=\!-F_{k+1},\:\:{\varphi_{2}}^{\!k}\!=\!-F_{k}\,F_{k+1},\:\:
{\varphi_{3}}^{\!k}\!=\frac{F_{k-1}\,F_{k}\,F_{k+1}}{2}\tag{3.14}\]などから, 次の係数\(\,{\varphi_{4}}^{\!k}\,\)は\[{\varphi_{4}}^{\!k}=\frac{F_{k-2}\,
F_{k-1}\,F_{k}\,F_{k+1}}{\lambda_{4}}\tag{3.15}\]の形であると推測される. \((3.7),\:(3.8),\:(3.11),\:(3.13)\,\)を再掲すると,\[\begin{equation}\begin{split}
&{F_{n}}^{\!3}-3{F_{n-1}}^{\!3}-6{F_{n-2}}^{\!3}
+3{F_{n-3}}^{\!3}+{F_{n-4}}^{\!3}=0\\
&{F_{n}}^{\!4}-5{F_{n-1}}^{\!4}-15{F_{n-2}}^{\!4}
+15{F_{n-3}}^{\!4}+5{F_{n-4}}^{\!4}-{F_{n-5}}^{\!4}=0\\
&{F_{n}}^{\!5}-8{F_{n-1}}^{\!5}-40{F_{n-2}}^{\!5}+60{F_{n-3}}^{\!5}
+40{F_{n-4}}^{\!5}-8{F_{n-5}}^{\!5}-{F_{n-6}}^{\!5}=0\\
&{\varphi_{n}}^{\!\!6}-13{\varphi_{n-1}}^{\!\!6}-104{\varphi_{n-2}}^{\!\!6}
+260{\varphi_{n-3}}^{\!\!6}+260{\varphi_{n-4}}^{\!\!6}
-104{\varphi_{n-5}}^{\!\!6}-13{\varphi_{n-6}}^{\!\!6}+{\varphi_{n-7}}^{\!\!6}=0
\end{split}\end{equation}\]であり, ここに含まれる\[{\varphi_{4}}^{\!3}\!=\!1,\:\:
{\varphi_{4}}^{\!4}\!=\!5,\:\:{\varphi_{4}}^{\!5}\!=\!40,\:\:
{\varphi_{4}}^{\!6}\!=\!260\]と\(\,(3.15)\,\)を比較すると, \(\lambda_{4}\!=\!6\,\)すなわち\[{\varphi_{4}}^{\!k}=\frac{F_{k-2}\,F_{k-1}\,F_{k}\,F_{k+1}}{6}\tag{3.16}\]が得られる.
　同様に, \[{\varphi_{5}}^{\!4}\!=\!-1,\:\:
{\varphi_{5}}^{\!5}\!=\!-8,\:\:
{\varphi_{5}}^{\!6}\!=\!-104\]などから \({\varphi_{5}}^{\!k}\,\)における分母\(\,\lambda_{5}\,\)を求めてみると, \(\lambda_{5}\!=\!30\,\)が得られる.
　
　ここまでに得られた \[\lambda_{1}\!=\!-1,\:\:\lambda_{2}\!=\!-1,\:\:
\lambda_{3}\!=\!2,\:\:\lambda_{4}\!=\!6,\:\:\lambda_{5}\!=\!-30\]から類推すれば, \[\lambda_{k}=\prod_{i\!\:=\!\:1}^{k}F_{i}\]すなわち\[\textcolor{red}{{\varphi_{i}}^{\!k}=
(-1)^{\left[\frac{i\,+\,1}{　{2}^{　}}\right]}
\prod_{j\!\:=\!\:1}^{i}\frac{F_{k-j\!\:+2}}{F_{j}}}\]が得られるから, 以上の考察から, \(n\in\mathbb{Z}\,\)についての恒等式\[\textcolor{red}{\sum_{i\!\:=\!\:0}^{k\!\:+1}{\varphi_{i}}^{\!k}
{F_{n-\!\:i}}^{\!k}=0}\tag{3.17}\]が得られる.
　
　\((3.17)\) の表記方法には改良の余地があるかも知れないし, 現時点では証明も未完成であるが, 本稿発表時までに得られた結果としてそのまま公表することにする.
　

　
§４．おわりに
　本稿に挙げた関係式は, Fibonacci 数研究において本質的な重要性をもつものではない. 数学の各分野における「基本定理」をはじめ, いわゆる「定理」と呼ばれるものは, 一般的にはその後の理論展開において高い有用性を発揮するものである.
　逆に, 有用性が低いものは, 得られた結果自体に特別な美しさや意外性が含まれない限りは, 時代の流れとともに自然淘汰されていく.
　三平方の定理や Cauchy の積分定理に比べ, (定理に昇格したはずの) 四色問題や Fermat 予想などは, それ自体の有用性は高くはないであろう. 本稿に挙げた (少なくとも筆者自身が導出した赤文字の) 関係式についても同様である.
　
　しかし, 数学者ではないわれわれは, 得られた関係式の有用性よりもそれを導出する過程を重視し, 生徒が数学探求に興味をもつ契機となり得る教材に興味を有するのである. 同値変形や数値実験により容易に新たな関係式が得られるという点で, Fibonacci 数は大変に魅力的な教材であると言えよう.
　
文献
[1] 清水健一『大学入試問題で語る数論の世界』(講談社ブルーバックス, 2011)
[2] 中村滋『フィボナッチ数の小宇宙 改訂版』(日本評論社, 2008)
[3] 坂田雅弘『交代冪和の性質』(埼玉県高等学校数学教育研究会誌 No.48, 2011)
[4] R.A.Dunlap (岩永忝雄 / 松井講介訳)『黄金比とフィボナッチ数』(日本評論社, 2003)
[5] A.S.Posamentier, I.Lehmann (松浦俊輔訳)『不思議な数列 フィボナッチの秘密』(日経BP社, 2010)
[6] T.Koshy “ Fibonacci and Lucas Numbers with Applications ” Wiley-Interscience, 2001
[7] T.Benjamin, Jennifer J. Quinn “ Proofs that really count : the art of combinatorial proof ” The Mathematical Association of America, 2003
[8] S.L.Basin “ Elementary Problems and Solutions ” Fibonacci Quarterly, Vol.1, No.3 1963
[9] V.E.Hoggatt, Jr. “Advanced Problems and Solutions ” Fibonacci Quarterly, Vol.1, No.2, 1963
[10] D.A.Lind “ A Determinant Involving Generalized Binomial Coefficients ” Fibonacci Quarterly, Vol.9, No.2, 1971
　
©Copyright 2025 SAKATA MASAHIRO. All Rights Reserved.