「相加平均・相乗平均の関係」を含む関数

第83回全国算数・数学教育研究大会
第56回関東都県算数・数学教育研究大会
2001年８月執筆

§１．はじめに

　高等学校で学ぶ不等式の一つに,「相加平均・相乗平均の関係」すなわち, 与えられた \(m\) 個の非負定数\(\,a_{{}_{k}}\;(\,k=1, \cdots , m)\,\)についての不等式
\[\textcolor{blue}{\frac{1}{\,m\,}\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\right)\geq
\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\right)^{\!\!\frac{1}{\,m\,}}}\tag{1.1}\]がある. 　
　教科書で扱われるのは \(m\!=\!2\) の場合のみであるが, 大学入試においては \((1.1)\) 自体の証明が頻繁に出題される. そこでは数学的帰納法による証明法が一般的であるが, 実際には他にも種々の証明法が知られている.
　
　複数個の非負定数についての不等式の証明では, \((1.1)\) を適用できる場合が少なくない. たとえば,
\[{a_{1}}^{\!n+2}+{a_{2}}^{\!n+2}
\geq a_{1}a_{2}\,({a_{1}}^{\!n}\!+{a_{2}}^{\!n})　(\,n\in \mathbb{N}\,)\tag{1.2}\]については, 両辺の差から得られる因数分解
\[(a_{1}\!-\!a_{2})^2({a_{1}}^{\!n}+{a_{1}}^{\!n-1}a_{2}
+\cdots+a_{1}{a_{2}}^{\!n-1}+{a_{2}}^{\!n})\geq 0\]による証明も可能であるが, \((1.1)\,\)を用いれば,
\[\begin{eqnarray}\begin{split}\frac{1}{\,n\!+\!2\,}\left(\,n\,{a_{1}}^{\!n+2}+{a_{1}}^{\!n+2}
+{a_{2}}^{\!n+2}\right)\geq\left({a_{1}}^{\!n\:\!(n+2)}
\,{a_{1}}^{\!n+2}{a_{2}}^{\!n+2}\right)^{\!\frac{1}{\!\:n\,+\,2^{　}\!\!}}
={a_{1}}^{\!n}a_{1}a_{2}\\ \frac{1}{\,n\!+\!2\,}\left(\,n\,{a_{2}}^{\!n+2}+{a_{1}}^{\!n+2}+{a_{2}}^{\!n+2}
\right)\geq\left({a_{2}}^{\!n\:\!(n+2)}
\,{a_{1}}^{\!n+2}{a_{2}}^{\!n+2}\right)^{\!\frac{1}{\:\!n\,+\,2^{　}\!\!}}
={a_{2}}^{\!n}a_{1}a_{2}\end{split}\tag{1.3}\end{eqnarray}\]が得られ, これらを辺々加えれば \((1.2)\) が得られるのである.
　
　本稿では, \((1.3)\) における手法を用いて \((1.1)\) から新たな不等式を導出しようと思う.
　

§２．\(m\,\)定数への拡張

　\((1.2)\) は２個の非負定数についての不等式であるが, 以下, \(m \!\geq \!2\,\)として\(\,m\,\)個の非負定数 \(a_{{}_{k}}\) についての不等式に拡張する.
　
　適当な \(n\in \mathbb{Z}\) をとれば, \((1.1)\) より,
\[\frac{1}{\,n\!+\!m\,}\left(\:\!n\:\!{a_{{}_{j}}}^{n+m}
+\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n+m}\right)
\geq\left({a_{{}_{j}}}^{n\:\!(n+m)}
\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n+m}\right)^{\!\!\frac{1}{{}_{\,n\,+\,m\,}}}
={a_{{}_{j}}}^{\!n}\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\tag{2.1}\]が得られるから, \(\,j=1, \cdots, m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば,
\[\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n+m}
\geq\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n}\right)}\tag{2.2}\]が得られる.
　ここで, \((1.1)\,\)を適用しうる条件は, \((2.1)\) の左辺において \(n\!\!\:+\!\:\!m\!\geq\!1\) かつ \({a_{j}}^{n+m}\) の係数 \(n\!+\!1\) が \(0\) 以上であることである. しがたって, 上の「適当な \(n\,\)」とは, \(n\in\mathbb{N}\cup \!\{0,-1\}\) を指す.
　
　なお, \((2.2)\) において\(\,m,\,n\,\)を適当に定めれば,
\[\begin{eqnarray}{a_{1}}^{\!2}+{a_{2}}^{\!2}
&\geq&2\,a_{1}a_{2}　&(\,m\!=\!2, \,n\!=\!0\,)\\
{a_{1}}^{\!3}+{a_{2}}^{\!3}&\geq&a_{1}\!\:a_{2}\!\:({a_{1}}^{\!2}\!+\!\!\:{a_{2}}^{\!2})
　&(\,m\!=2, \,n\!=\!1\,)\\
{a_{1}}^{\!3}+{a_{2}}^{\!3}+{a_{3}}^{\!3}
&\geq&3\,a_{1}a_{2}a_{3}　&(\,m\!=\!3, \,n\!=\!0\,)\\ {a_{1}}^{\!2}+{a_{2}}^{\!2}+{a_{3}}^{\!2}&\geq
&a_{1}\!\:a_{2}+a_{2}\!\:a_{3}+a_{3}\!\:a_{1}　&(\,m\!=\!3, \,n\!=\!-1\,)\end{eqnarray}\]など, 高校生にも馴染み深い不等式が現れる.
　
　変形の手法は先と同様であるが, 少し係数を変えてみれば,
\[\begin{equation}\begin{split}&\frac{1}{\,n\!+\!m\,}\!\left((n\!-\!m)\,{a_{{}_{j}}}^{n+m}
+2\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n+m}\!\right)\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\geq\left({a_{{}_{j}}}^{(n-m)\:\!(n+m)}
\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!2\:\!(n+m)}\right)^{\!\!\frac{1}{\,n\,+\,m\,}}
={a_{j}}^{\!n-m}\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{2}\end{split}\end{equation}\tag{2.3}\]が得られるから, \(\,j=1, \cdots, m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば,
\[\textcolor{blue}{\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n+m}\geq
\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{2}\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n-m}\right)}\tag{2.4}\]が得られる.
　ここで, \((1.1)\) を適用しうる条件は, \((2.3)\) の左辺において, \(n\!\!\:+\!\!\:m\!\geq\!1\) かつ \({a_{{}_{j}}}^{\!n}\) の係数\(\,n\!-\!m\!+\!2\,\)が\(\,0\,\)以上であることである. したがって, \((2.4)\) は \(n\in\mathbb{N}\cup\!\{0\}\) について成り立つ.
　
　\((2.2)\) と \((2.4)\) の右辺同士の大小関係については, \((2.1)\) と同様の手法を用いて
\[\textcolor{blue}{\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n}\right)\!
\geq\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{k}}^{2}\right)
\!\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n-m}\right)}\tag{2.5}\]であることがわかる.
　

§３．不等式の連鎖

　\(n\in\mathbb{Z}\) を与えられた定数とする. \(m\) 個の非負定数 \(a_{{}_{k}}\:(k=1,\,\cdots,\,m)\) について, \(r\in\mathbb{Z}\) の関数
\[\textcolor{blue}{f_{m,\,n}(r)=\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!r}\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{k}}^{n-m\!\:(r-1)}\right)}\tag{3.1}\]を考えると, \(\,(2.2)\,\)および \((2.5)\) より,\[f_{m,\,n}(0)
\geq f_{m,\,n}(1)\geq f_{m,\,n}(2)\]であるから, その拡張としての不等式の連鎖
\[\textcolor{red}{\cdots\cdots\geq f_{m,\,n}(-2)\geq f_{m,\,n}(-1)\geq f_{m,\,n}(0)\geq f_{m,\,n}(1)\geq f_{m,\,n}(2)\geq\cdots\cdots}\tag{3.2}\]が予想される.
　
　\((3.2)\) を得るには, ある \(r^{\prime}\!\in \!\mathbb{Z}\) について
\[\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n-m\:\!(r^{\prime}-1)}\!\geq
\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\!\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n-mr^{\prime}}\right)\tag{3.3}\]が成り立つことを示せばよい. これについては, \((1.1)\) より
\[\begin{eqnarray}\begin{split}&\frac{1}{n\!-m\:\!(r^{\prime}\!-\!1)}\!
\left((n\!-m\:\!r^{\prime})\,{a_{{}_{j}}}^{\!n-m\:\!(r^{\prime}-1)}+
\!\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n-\:\!(r^{\prime}-1)}\!\right)\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\geq\!\left({a_{{}_{j}}}^{(n-m\:\!r^{\prime})(n-m\:\!(r^{\prime}-1))}
\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n-m\:\!(r^{\prime}-1)}\right)
^{\!\!\frac{1}{{}_{\,n\,-\,m\,(\;\!r^{\;\!\prime}-\,1\,)}\,}}
={a_{{}_{j}}}^{\!n-m\:\!r^{\prime}}
\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\end{split}\tag{3.4}\end{eqnarray}\]が得られるから, \(\,j=1, \cdots, m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば, \((3.3)\) が得られる.
　ここで, \((1.1)\) を適用しうる条件は, \((3.4)\) の左辺において, \(\,n\!-m\:\!(r^{\prime}\!-\!1)\!\geq \!1\,\)かつ\(\,{a_{j}}^{\!n-m\:\!(r^{\prime}-1)}\,\)の係数\(\,n\!-m\:\!r^{\prime}\!+\!1\,\)が\(\,0\,\)以上であることである. したがって, \((3.2)\) は,
\[r\leq\left[\:\!\frac{\!\:n\!+\!1\!\:}{m}\!\:\right]\tag{3.5}\]をみたす \(r\in\mathbb{Z}\) について成り立つ.
　
　さて, \((3.5)\) をみたす \(r\) の最大値を \(r_{{}_{0}}\!=\!\displaystyle{\left[\:\!\frac{\!\:n\!+\!1\!\:}{m}\!\:\right]}\) とおけば, \[r_{{}_{0}}\!+\!1\geq\frac{\,n\!\!\:+\!\!\:m\!\!\:+\!\:\!1\,}{m}\]であるから, \(r^{\prime}\!\geq\!r_{{}_{0}}\) をみたす \(r^{\prime}\!\in\mathbb{Z}\) について, \(-\!\:(n\!-\!r^{\prime}\!\:m)\!\geq\!1\) および \(-\!\:(n\!-\!(r^{\prime}\!-\!1)\!\:m\!\:)\!+\!1\!\geq\!0\) が成り立つ. したがって, \((1.1)\) より,\[\begin{eqnarray}\begin{split}&\frac{1}{-\!\:(n\!-\!r^{\prime}m)}\!
\left(-\!\:(n\!-\!(\!\:r^{\prime}\!-\!1)m)\,{a_{{}_{j}}}^{\!n-r^{\prime}m}
+\!\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n-r^{\prime}m}\!\right)\\
&\:\:\:\:\:\:\:\geq\!\left({a_{{}_{j}}}^{-(\!\:n-(\!\:r^{\prime}-1)\!\:m)(n-r^{\prime}m)}
\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!n-r^{\prime}m}\right)^
{\!\!\frac{1}{{}_{-\,(\,n\,-\,r^{\!\:\prime}\!\:m\,)}}}
={a_{{}_{j}}}^{\!n-(r^{\prime}-1)\!\:m}
\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{-1}\end{split}\end{eqnarray}\]が得られ, \(\,j=1, \cdots, m\,\)についてこの不等式を辺々加えれば,
\[\begin{eqnarray}\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n-(r^{\prime}-1)\!\:m}\leq \left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}\!\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}
^{\!n-r^{\prime}\!\:m}\right)\tag{3.5}\end{eqnarray}\]が得られる.
　
　以上より, \[\begin{equation}\begin{split}&\textcolor{red}{\cdots\cdots\geq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!-\!2)\geq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!-\!1)\geq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}})}\\
&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\textcolor{red}{\leq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!+\!1)\leq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!+\!2)\leq f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!+\!3)\leq{\cdots\cdots}^{　}}\end{split}\end{equation}\tag{3.6}\]のような, \(r_{{}_{0}}\) の値を境界として不等号の大小関係が逆転する不等式の連鎖が得られる.
　

§４．関数の拡張

　前節では \((3.1)\) で定義される関数 \(f_{m,\,n}(r)\) の変数を \(r\in\mathbb{Z}\) としたが, 本節では \(r\in\mathbb{R}\) として考える. また, \(a_{{}_{k}}\) を, 非負定数ではなく正定数 \((\!\:a_{{}_{k}}\!>\!0\,)\) としておく.
　
　任意の \(m\) 個の正定数 \(a_{{}_{k}}\) と定数 \(n\in\mathbb{Z}\) について定義される \(r\in\mathbb{R}\) の関数 \(f_{m,\,n}(r)\) は, 前節より
\[\frac{\,n\!\!\:+\!\:\!1\,}{\,m\,}\!\leq r< \!\frac{\,n\!\!\:+\!\!\:m\!\:\!+\!\:\!1\,}{m}\]において最小値をとると予想される.
　
　ここで, \(\displaystyle {r_{{}_{0}}=\!\frac{\,n\!\!\:+\!\:\!1\,}{m}}\,(\in \!\mathbb{Q}\,)\) とおき, \(\alpha \!\in\mathbb{R}\) を用いて
\[\begin{eqnarray}\textcolor{blue}{f_{m,\,n}(r_{{}_{0}}\!+\!\alpha)
=\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!r_{{}_{0}}+\alpha}\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{n-m\!\:(r_{{}_{0}}+\alpha -1)}\!\right)=\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!r_{{}_{0}}}\right)g\,(\alpha)}
\end{eqnarray}\]とおく. ただし, \(\,g\,(\alpha)\,\)は
\[g\,(\alpha)=\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!\!\alpha}\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}{a_{{}_{k}}}^{\!\!m-1-m\alpha}\right)\tag{4.1}\]である.
　
　\(a_{{}_{k}}\!>\!0\) であることより, \(g\,(\alpha)\) は開区間 \((0,+\infty)\) を値域とする連続関数であるから, \((4.1)\) を \(\alpha\) について対数微分すれば,\[g^{\prime}(\alpha)=\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\!\:\alpha}\right)\!
\left(\,\sum_{j\!\:=\!\:1}^{m}\,a_{{}_{j}}^{\!\:m-1-m\alpha}
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}\,\log\frac{\,a_{{}_{k}}\,}{a_{{}_{j}}}\right)\right)\tag{4.2}\]が得られる.
　さらに, \((4.2)\) において \(a_{{}_{j}}^{m-1-m\alpha}\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{j}}\,}{a_{{}_{i}}}}\)と \(a_{{}_{i}}^{m-1-m\alpha}\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{i}}\,}{a_{{}_{j}}}}
\!=-\,a_{{}_{i}}^{m-1-m\alpha}\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{j}}\,}{a_{{}_{i}}}}\)を組にすれば,\[g^{\prime}(\alpha)=\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\!\:\alpha}\right)\!
\left(\sum_{1\!\:\leq\!\:i\!\:<\!\:j\!\:\leq m}^{}\!\!\!\left(a_{{}_{j}}^{\!\:m-1-m\alpha}-a_{{}_{i}}^{\!\:m-1-m\alpha}\right)
\log\!\frac{\,a_{{}_{j}}\,}{a_{{}_{i}}}\right)\]が得られる.
　
　ここで, 一般性を失うことなく \(i\!<\!j\) に対して \(a_{i}\!\leq\!a_{j}\) と仮定してよい. この仮定のもとに, 各 \(\log\displaystyle{\frac{\,a_{{}_{j}}}{a_{{}_{i}}}}\) はいずれも正であり, したがって,\[\begin{equation}\begin{split}\alpha\leq 1-\frac{\,1\,}{m}\Longrightarrow a_{{}_{j}}^{m-1-m\alpha}-a_{{}_{i}}^{m-1-m\alpha}
\leq 0\Longrightarrow g^{\prime}(\alpha)\leq 0\\
\alpha\geq 1-\frac{\,1\,}{m}\Longrightarrow
a_{{}_{j}}^{m-1-m\alpha}-a_{{}_{i}}^{m-1-m\alpha}
\geq 0\Longrightarrow g^{\prime}(\alpha)\geq 0
\end{split}\end{equation}\]であるから, \(f_{m,\,n}(r)\) は \(\alpha=1\!-\!\!\displaystyle{\frac{1}{\,m\,}}\) すなわち \(r=1\!+\!\!\displaystyle{\frac{1}{\,m\,}}\) において最小値\[\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\frac{\,n\,}{m}+1}\]をとる.
　
　ところで, \((2.2)\) において \(n\!=\!0\) とおけば, これは \((1.1)\) と同値である. これにならい, \((3.1)\) において \(n\!=\!0\) とおけば, \(r\in\mathbb{R}\) の関数\[\textcolor{red}{f_{m}(r)=\left(\,\prod_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\,r}\right)\!
\left(\,\sum_{k\!\:=\!\:1}^{m}a_{{}_{k}}^{\,m\!\:(1-r)}\right)}\tag{4.3}\]は, \(r\!=\!1\) において最小値をとり, \[f_{m}(0)\geq f_{m}(1)\]が成り立つ. これは \((1.1)\) すなわち「相加平均・相乗平均の関係」と同値であり, \((4.3)\) は \((1.1)\) を含む関数であると言えよう.
　